geometria

geometria

[gr. gḗ ‘ziemia’, metréō ‘mierzę’],

dyscyplina nauki zajmująca się badaniem figur, tj. fragmentów rozmaitych przestrzeni.

Najstarsze źródła pisane dotyczące geometrii uprawianej w Babilonii pochodzą z ok. 2100 p.n.e., w starożytnym Egipcie — z ok. XVII w. p.n.e., np. papirus Rhinda; dotyczyły one konkretnych zadań praktycznych związanych z pomiarami i budownictwem. Około V w. p.n.e. geometria zaczęła się bujnie rozwijać w starożytnej Grecji; starogreccy matematycy w zagadnieniach geometrycznych uwagę głównie skupiali na rozumowaniu logicznym (Euklides). W średniowieczu w zakresie geometrii ograniczano się do komentowania dzieł starożytnych. Nowy rozkwit geometrii zaczął się dopiero w XVII w., głównie dzięki stworzeniu przez R. Descartes’a zrębów geometrii analitycznej. Istotną i nową cechą w geometrii analitycznej było użycie tzw. metody współrzędnych; metoda ta polegała na przypisywaniu punktom układów liczb zwanych współrzędnymi (np. punktowi płaszczyzny — pary liczb, przestrzeni — trójki liczb) i opisywaniu figur geometrycznych równaniami (lub nierównościami) wiążącymi współrzędne punktów należących do tych figur; np. prostą na płaszczyźnie przedstawia równanie ax + by + c = 0, kulę w przestrzeni — nierówność: (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² ≤ r² (r — promień kuli, a, b, c — współrzędne jej środka); dzięki tej metodzie zagadnienia geometryczne można było rozwiązywać metodami algebry (np. znalezienie punktu przecięcia prostych a₁x + b₁y + c₁ = 0 i a₂x + b₂ y + c₂ = 0 sprowadza się do rozwiązania układu tych 2 równań). Dalszy rozwój geometrii analitycznej i metody współrzędnych doprowadził do powstania odrębnego działu, zwanego geometrią algebraiczną, jak też dał początek geometrii różniczkowej (XVII w.), w której do zagadnień geometrycznych stosowano rachunek różniczkowy i całkowy. Równocześnie została zapoczątkowana geometria syntetyczna, która w odróżnieniu od geometrii analitycznej nie stosuje algebry, lecz klasyczne metody geometrii. Prawie w tym samym czasie zaczęła się rozwijać geometria rzutowa, zajmująca się tymi własnościami figur geometrycznych, które zachowują się przy rzutowaniach centralnych; dzięki temu geometria rzutowa jest ściśle związana z perspektywą malarską i geometrią wykreślną, której praktycznym zadaniem jest umiejętność możliwie wiernego przedstawiania na płaszczyźnie figur przestrzennych. Na początku XIX w., dzięki pracom N. Łobaczewskiego i J. Bólyaia, powstała pierwsza geometria nieeuklidesowa (zwana geometrią hiperboliczną lub geometrią Łobaczewskiego), odmienna w swej aksjomatyce od geometrii Euklidesa; później rozwinęły się inne geometrie nieeuklidesowe, np. geometria eliptyczna (B. Riemann). Prowadzone pod koniec XIX w. badania wykazały, że geometria Łobaczewskiego jest w tym samym stopniu niesprzeczna, co geometria euklidesowa. Stało się to bodźcem do zbadania logicznej struktury geometrii. Powstał nowy dział — podstawy geometrii, w którym geometrię traktuje się jako pewien system dedukcyjny; przyjmuje się pewną liczbę pojęć pierwotnych, których własności są opisane przez twierdzenia podstawowe przyjęte bez dowodu — tzw. aksjomaty (pewniki); inne pojęcia definiuje się za pomocą pojęć pierwotnych i pojęć zdefiniowanych wcześniej, a z aksjomatów — stosując reguły logiki — otrzymuje się nowe twierdzenia. Pojęcia pierwotne i aksjomaty geometrii pochodzą z obserwacji konkretnych przedmiotów, nie dotyczy to już jednak samego systemu dedukcyjnego. Taki punkt widzenia pozwala stosować twierdzenia geometrii do innych niż zwykle obiektów, jeżeli tylko obiekty te spełniają formalnie aksjomaty geometrii, dzięki czemu można wykrywać głębokie związki między geometrią a innymi działami matematyki.

Układ aksjomatów geometrii podany przez D. Hilberta (jeden z wielu układów) składa się z 20 aksjomatów podzielonych na 5 grup. Piąta grupa zawiera jedyny aksjomat, który odróżnia geometrię euklidesową od geometrii Łobaczewskiego (Euklidesa postulat równoległości). Zespół wniosków pochodzących z pierwszych czterech grup aksjomatów Hilberta nosi nazwę geometrii absolutnej; twierdzenia jej są prawdziwe zarówno w geometrii euklidesowej, jak i w geometrii Łobaczewskiego. W 2. połowie XIX w. na gruncie metody współrzędnych rozwinęły się tzw. geometrie wielowymiarowe, m.in. takie, w których elementami podstawowymi są nie punkty, lecz proste (J. Plücker) lub kule (S. Lie). Szczególne miejsce zajmuje tu czterowymiarowa geometria Minkowskiego, mająca pierwszorzędne znaczenie w szczególnej teorii względności A. Einsteina. W 1872 F. Klein wystąpił z propozycją pewnej klasyfikacji geometrii (erlangeński program), która z jednolitego punktu widzenia rozpatrywała różne geometrie: rzutową, afiniczną, euklidesową, nieeuklidesowe i in. Z tego punktu widzenia za geometrię można uważać także topologię, w której są badane najogólniejsze własności przestrzeni. Inny kierunek rozwoju geometrii wiąże się z geometrią różniczkową. Opierając się na badaniach C.F. Gaussa, dotyczących geometrii wewnętrznej powierzchni, Riemann zapoczątkował (1854) nowy dział geometrii — geometrię przestrzeni riemannowskich. Są to przestrzenie metryczne, tzn. takie, w których jest określona odległość między punktami; wprowadza się tu formę metryczną , w której ds oznacza różniczkę długości łuku krzywej danej za pomocą równań parametrycznych xⁱ= xⁱ(t), i = 1, 2,... , n, t — zmienna niezależna, a g_ij(x¹,... , xⁿ) — tzw. tensor metryczny; długość łuku krzywej określa się jako całkę wzdłuż łuku z pierwiastka kwadratowego z formy metrycznej, a odległość 2 punktów jako długość najkrótszego łuku łączącego te punkty, tj. łuku geodezyjnej. Idee Riemanna znacznie przyczyniły się do powstania i rozwoju ogólnej teorii względności. Na przełomie XIX i XX w. na użytek geometrii różniczkowej powstał rachunek tensorowy, który znalazł szerokie zastosowanie w fizyce i technice, a był i nadal pozostaje niezmiernie wygodnym narzędziem badań geometrii. Nowoczesna geometria różniczkowa zajmuje się m.in. badaniami przestrzeni jako całości, nie zaś małych fragmentów przestrzeni. Ten globalny punkt widzenia zbliża geometrię różniczkową do topologii. Do badań globalnych w geometrii różniczkowej stosuje się obecnie metody topologiczne, zwłaszcza nowo powstałą teorię przestrzeni włóknistych i globalny rachunek wariacyjny zapoczątkowany przez M. Morse’a.

Najbardziej spektakularne osiągnięcia geometrii w ostatnim półwieczu to teoria katastrof (1958, R. Thom), wyliczająca rodzaje możliwości opisu zjawisk nieciągłych przez zależności ciągłe (liczne zastosowania, np. w medycynie, ekonomii), wykorzystanie geometrii hiperbolicznej do klasyfikacji rozmaitości (1982, W. Thurston) i teoria figur samopodobnych (fraktal).

Bibliografia

D. HILBERT, S. COHN-VOSSEN Geometria poglądowa, Warszawa 1956;

H.S.M. COXETER Wstęp do geometrii dawnej i nowej, Warszawa 1967;

M. KORDOS, L. WŁODARSKI O geometrii — dla postronnych, Warszawa 1981;

M. KORDOS O różnych geometriach, Warszawa 1987.

Czworokąty

Talesa twierdzenie: OA/AB = OA'/A'B'.

Hiperbola: F₁F₂ = 2c odległość między ogniskami; OB = OA = a półosie wielkie (AB oś rzeczywista); OD = OC = b półosie małe (urojone); A, B, C, D wierzchołki; O środek symetrii hiperboli; OF₁ = OF₂ = c; p, q kierownice