tensorowy rachunek

tensorowy rachunek,

dział matematyki badający własności tensorów i pól tensorowych (tensor); dzieli się na algebrę tensorową i analizę tensorową;

rachunek tensorowy jest uogólnieniem rachunku wektorowego i podobnie jak ten ostatni znajduje różnorodne zastosowanie w wielu działach matematyki (np. w geometrii różniczkowej, w teorii przestrzeni Riemanna), w fizyce mat. (np. w elektrodynamice, w teorii względności), a także w technice (np. w teorii sprężystości). Rachunek tensorowy obejmuje algebrę tensorową i analizę tensorową; w algebrze tensorowej rozważa się podstawowe operacje na tensorach (jak dodawanie, mnożenie, zwężanie i in.), które w wyniku dają nowe tensory; w analizie tensorowej do rozważań wprowadza się pola tensorowe oraz operację różniczkowania tensorowego pól tensorowych tak definiowaną, by w jej wyniku otrzymać nowe pola tensorowe; w analizie tensorowej rozważa się również całkowanie pól tensorowych oraz dowodzi się, ważnych w zastosowaniach uogólnionych, twierdzeń całkowych typu twierdzeń Gaussa–Greena–Ostrogradskiego–Stokesa, pozwalających zastępować całki więcejwymiarowe przez całki mniejwymiarowe (lub na odwrót). Rachunek tensorowy stworzyli matematycy wł.: G. Ricci-Curbastro i T. Levi-Cività, którzy w pracy Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications (1901) podali gł. pojęcia rachunku tensorowego i jego zastosowanie do geometrii różniczkowej i klas. fizyki mat.; zainteresowanie rachunkiem tensorowym bardzo wzrosło po sformułowaniu przez A. Einsteina 1916 ogólnej teorii względności, albowiem jak się okazało, rachunek tensorowy stanowi pierwszorzędną i jedyną metodę nadającą się do mat. ujęcia teorii względności. Obecnie rachunek tensorowy stał się prawie uniwersalnym językiem fizyki mat.; dzięki niemu można w sposób zwarty i przejrzysty wyrażać ogólne równania fizyki oraz wybierać właściwą postać praw fiz., których treść nie powinna, wg teorii względności, zależeć od wyboru tego czy innego układu współrzędnych.