tensor

tensor

[łac.],

mat. uogólnienie skalara i wektora;

wielkość, która przy zmianie układu współrz. przekształca się w specyficzny dla niej sposób; jeśli w układzie współrz. (α), współrz. punktu P są liczby x¹, x², ... , xⁿ, to przy przejściu do nowego układu (α′) współrz. tego samego punktu będą x′¹, x′², ... , x′ ⁿ; te nowe — primowane współrz. można wyrazić jako funkcje starych w postaci równań:

x′^μ = x′^μ(x¹, x², ... , xⁿ) (μ = 1, 2, ... , n), (∗)

które stanowią przekształcenie (transformację) współrz. (α) → (α′), przy czym zakłada się, że funkcje te są ciągłe, różniczkowalne i wzajemnie jednoznaczne. Jeżeli dla każdego układu współrz. (α) jest określona funkcja punktu φ (x¹, ... , xⁿ) tak, że dla układu primowanego (α′) jest φ′ (x′¹, ... , x′ ⁿ), i jeżeli przy przejściu od układu (α) do układu (α′) wartości tych funkcji φ i φ′ w odpowiednich punktach x^μ i x′^μ są równe, tj. jeżeli φ(x¹, ... , xⁿ) = φ′ (x′¹, ... , x′ ⁿ), to taką funkcję punktu φ nazywa się skalarem (dokładniej — polem skalarnym) lub niezmiennikiem (oznaczenie: inv). Wektorem kontrawariantnym nazywa się wielkość v^μ (wskaźnik μ u góry, na pozycji kontrawariantnej), której składowe (współrz.) v¹, v², ... , vⁿ przy przekształceniu układu współrz. (α) → (α′) przekształcają się (transformują się) zgodnie ze wzorami:

(lub ) (∗∗)

(znak sumowania Σ często pomija się zgodnie z tzw. konwencją Einsteina, wg której znak Σ można pominąć, gdy wskaźnik sumacyjny, w tym wypadku σ, występuje dwukrotnie — raz u góry i raz u dołu); analogicznie, jeżeli zespół wielkości v₁,... , v_n podlega regule transformacyjnej:

(∗∗∗)

to zespół ten określa wektor kowariantny v_μ (wskaźnik μ u dołu, tj. na pozycji kowariantnej) o składowych v₁, ... , v_n; skalar nazywa się też tensorem rzędu zerowego, a wektor (kontra- lub kowariantny) — tensorem rzędu pierwszego. W rachunku tensorowym rozważa się też tensory wyższych rzędów (np. drugiego o n² składowych, trzeciego o n³ składowych), mające więcej niż 1 składnik; jeżeli tensor ma tylko wskaźniki górne, nazywa się t. kontrawariantnym, jeśli tylko dolne — t. kowariantnym, a jeżeli ma wskaźniki i górne, i dolne — tensorem mieszanym; ogólnie tensor rzędu (p + q), oznaczany symbolem (μ, σ przebiegają wartości 1, 2, ... , n) ma n^p + q składowych i (p + q) wskaźników; parę liczb (p, q) nazywa się walencją tensora — przy przekształceniu (∗) składowe kontrawariantne tensora (numerowane górnymi wskaźnikami) transformują się zgodnie ze wzorami (∗∗) — a składowe kowariantne tensora (numerowane dolnymi wskaźnikami) — zgodnie z wzorami (∗∗∗), np. tensor trzeciego rzędu o walencji (2,1) podlega regule transformacyjnej:

(sumowanie względem ν, τ i ω od 1 do n); tensor v_...μ...ρ nazywa się symetrycznym względem wskaźników μ i ρ, jeżeli v_...μ...ρ = v_...ρ...μ, zaś antysymetrycznym (lub skośnie symetrycznym), gdy v_...μ...ρ = −v_...ρ...μ; właściwościami tensorów zajmuje się rachunek tensorowy.