tensorowy iloczyn

tensorowy iloczyn,

mat. dla przestrzeni wektorowych U i V — przestrzeń wektorowa oznaczana symbolem U ⊗ V wraz z odwzorowaniem dwuliniowym t: U × V → U ⊗ V, posiadająca własność jednoznacznej uniwersalnej faktoryzacji (dla dowolnej przestrzeni wektorowej W i dowolnego odwzorowania ϕ: U × V → W istnieje dokładnie jedno odwzorowanie liniowe ρ: U ⊗ V → W spełniające warunek ϕ = ρ ⊗ t);

odwzorowanie t(u, v) = u ⊗ v nazywa się mnożeniem tensorowym wektorów; warunek jednoznacznej uniwersalnej faktoryzacji można wtedy zapisać ϕ(u, v) = ρ(u ⊗ v); każde odwzorowanie dwuliniowe można zastąpić odwzorowaniem liniowym na i.t.; jeśli U i V są przestrzeniami skończonego wymiaru z bazami odpowiednio e₁, ... , e_n i f₁, ... , f_m, to wektory e_i ⊗ f_j dla i = 1, ... , n oraz j = 1, ... , m tworzą bazę U ⊗ V; dla odwzorowań liniowych ρ₁: U₁ → V₁ i ρ₂: U₂ → V₂ definiuje się i.t. ρ₁ ⊗ ρ₂: U₁ ⊗ V₁ → U₂ ⊗ V₂ za pomocą równości ρ₁ ⊗ ρ₂(u₁ ⊗ u₂) = ρ₁(u₁) ⊗ ρ₂(u₂). I.t. pozwala na precyzyjne i formalne zdefiniowanie tensorów i różnych operacji na nich; pojęcie i.t. analogicznie definiuje się dla większej liczby przestrzeni; można też określić i.t. modułów, algebr, reprezentacji i wiązek włóknistych wektorowych.

Bibliografia

J. Komorowski Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów..., Warszawa 1978;

A. Białynicki-Birula Algebra liniowa z geometrią, Warszawa 1979.