wektorowy rachunek

wektorowy rachunek,

mat. dziedzina matematyki badająca własności rozmaitych operacji na wektorach.

Rachunek wektorowy dzieli się na algebrę wektorową oraz analizę wektorową. Zbiór wektorów (np. trójwymiarowych, tzn. o trzech składowych) stanowi przestrzeń wektorową (liniową), co oznacza, że wektory można dodawać oraz mnożyć przez liczby, otrzymując w rezultacie tych działań nowe wektory, przy czym spełnione muszą być wszystkie aksjomaty liniowej przestrzeni; wektory i  dodaje się tworząc tzw. wypadkową  + ; różnicę wektorów i  otrzymuje się łącząc końce wektorów i  i stawiając „strzałkę” zwrotu przy odjemnej; działania te pozwalają wprowadzić pojęcie kombinacji liniowej wektorów , , , tzn. wyrażenia postaci λ + µ + ν (λ, µ, ν — liczby); wektory , , nazywają się liniowo niezależne, jeżeli z warunku λ  + µ + ν = 0 wynika, że λ = µ = ν = 0; natomiast jeżeli istnieją takie 3 liczby λ, µ, ν (nie wszystkie jednocześnie równe zeru), że λ  + µ + ν = 0, to wektory , , nazywają się liniowo zależne i wtedy każdy z nich można wyrazić jako pewną kombinację liniową pozostałych, co geometrycznie oznacza, że wektory te są równoległe do jednej płaszczyzny; 3 wektory ₁, ₂, ₃ liniowo niezależne i o wspólnym początku tworzą tzw. bazę trójwymiarową przestrzeni wektorowej, co oznacza, że każdy wektor tej przestrzeni da się zapisać jako kombinacja liniowa wektorów bazy:  = x₁₁ + x₂₂  + x₃₃, gdzie liczby x₁, x₂, x₃ nazywają się współrzędnymi (składowymi) wektora ; wszystkie operacje na wektorach można również zdefiniować za pomocą współrzędnych, np. iloczyn skalarny wektorów (a_x, a_y, a_z) i (b_x, b_y, b_z) w bazie prostokątnej:  = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z lub kąt φ między wektorami:

.

W analizie wektorowej rozpatruje się pola skalarne i pola wektorowe oraz rozmaite operacje różniczkowe określone dla tych pól, jak również operacje całkowe; do najważniejszych operacji różniczkowych w rachunku wektorowym należą: gradient, dywergencja, rotacja; operacje te z jednych pól pozwalają, przez różniczkowanie, otrzymywać nowe pola, np. z pola skalarnego f(P) można otrzymać pole wektorowe grad f(P), a z pola wektorowego (P) — pole skalarne div (P); do najważniejszych operacji całkowych należą: całka ciśn. skalara f na powierzchnię S, czyli całka ( — wektor zewn. normalny do powierzchni S), krążenie pola wektorowego (P) wzdłuż zamkniętego konturu L, czyli całka ( — wektor wodzący konturu L), strumień pola wektorowego (P) przez powierzchnię S, czyli całka .

Wyszczególnione operacje różniczkowe i całkowe występują w ważnych twierdzeniach rachunku wektorowego, mianowicie w twierdzeniu Greena i we wzorach Gaussa–Ostrogradskiego i Stokesa, które odgrywają podstawową rolę w zastosowaniach fiz. i technicznych. Rachunek wektorowy ukształtował się w samodzielną dyscyplinę w poł. XIX w. dzięki pracom: H.G. Grassmanna, W.R. Hamiltona, J. Maxwella i J.W. Gibbsa.