przestrzeń liniowa

przestrzeń liniowa, przestrzeń wektorowa,

mat. jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej:

przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się zbiór X elementów f₁, f₂, f₃,... , zwanych także wektorami, jeżeli są spełnione następujące 4 warunki: 1) określone jest dodawanie elementów, przy czym suma f₁ + f₂ należy również do zbioru X, (f₁ + f₂) + f₃ = f₁ + (f₂ + f₃) (łączność dodawania) oraz f₁ + f₂ = f₂ + f₁ (przemienność dodawania); 2) istnieje element zerowy ϑ taki, że dla każdego elementu f ∈ X zachodzi równość f + ϑ = f; 3) dla każdego elementu f ∈ X istnieje element przeciwny –f taki, że f + (–f) = ϑ; 4) dla każdej liczby rzeczywistej α, β,... i każdego elementu f ∈ X określony jest iloczyn αf, także należący do zbioru X, przy czym zachodzą równości: α(f₁ + f₂) = αf ₁ + αf₂, (α + β)f = αf + βf, 1 · f = f, 0 · f = ϑ, α · ϑ = ϑ; analogicznie określa się przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych. Przestrzeń liniowa X jest skończenie wymiarowa, jeżeli istnieje w niej taki skończony zbiór elementów f₁,... , f_n, że każdy element f ∈ X daje się przedstawić w postaci kombinacji liniowej f = a₁ f₁ + a₂f₂ +... + a_nf_n; jeżeli nadto ów zbiór elementów jest liniowo niezależny, to nazywa się go bazą przestrzeni liniowej X, a n — jej wymiarem; przestrzeń liniowa, która nie jest skończenie wymiarowa, nazywa się przestrzenią liniową nieskończenie wymiarową; przestrzenią liniową jest np. zbiór wektorów przestrzeni trójwymiarowej, zbiór wszystkich wielomianów stopnia ≤ n, zbiór wszystkich funkcji całkowalnych na przedziale [a, b].