przestrzeń liniowa
 
Encyklopedia PWN
przestrzeń liniowa, przestrzeń wektorowa,
mat. jedno z podstawowych pojęć algebry liniowej:
przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych nazywa się zbiór X elementów f1, f2, f3,... , zwanych także wektorami, jeżeli są spełnione następujące 4 warunki: 1) określone jest dodawanie elementów, przy czym suma f1 + f2 należy również do zbioru X, (f1 + f2) + f3 = f1 + (f2 + f3) (łączność dodawania) oraz f1 + f2 = f2 + f1 (przemienność dodawania); 2) istnieje element zerowy ϑ taki, że dla każdego elementu fX zachodzi równość f + ϑ = f; 3) dla każdego elementu fX istnieje element przeciwny –f taki, że f + (–f) = ϑ; 4) dla każdej liczby rzeczywistej α, β,... i każdego elementu fX określony jest iloczyn αf, także należący do zbioru X, przy czym zachodzą równości: α(f1 + f2) = αf 1 + αf2, (α + β)f = αf + βf, 1 · f = f, 0 · f = ϑ, α · ϑ = ϑ; analogicznie określa się przestrzeń liniową nad ciałem liczb zespolonych. Przestrzeń liniowa X jest skończenie wymiarowa, jeżeli istnieje w niej taki skończony zbiór elementów f1,... , fn, że każdy element fX daje się przedstawić w postaci kombinacji liniowej f = a1 f1 + a2f2 +... + anfn; jeżeli nadto ów zbiór elementów jest liniowo niezależny, to nazywa się go bazą przestrzeni liniowej X, a n — jej wymiarem; przestrzeń liniowa, która nie jest skończenie wymiarowa, nazywa się przestrzenią liniową nieskończenie wymiarową; przestrzenią liniową jest np. zbiór wektorów przestrzeni trójwymiarowej, zbiór wszystkich wielomianów stopnia ≤ n, zbiór wszystkich funkcji całkowalnych na przedziale [a, b].
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia