operator
mat. funkcja przyporządkowująca elementom jednego zbioru elementy drugiego zbioru;
[łac., ‘zajmujący się czymś’, ‘wykonawca’],
operator
Encyklopedia PWN
często zamiennie są używane terminy: operacja, odwzorowanie, przekształcenie, transformacja; zapis Ax = y oznacza, że operator A przyporządkowuje elementowi x pewien element y, przy czym elementy x, y mogą należeć do różnych zbiorów lub do tego samego zbioru; np. elementowi x = (x1, x2, x3) jest przyporządkowany element y = (y1, y2, y3) wg wzoru:
, gdzie K(x, t) jest funkcją ciągłą 2 zmiennych; występuje tu tzw. operator całkowy (K(x, t) nazywa się jego jądrem); często zarówno dziedzina, jak i zbiór zawierający zbiór wartości operatora A są przestrzeniami liniowymi (wektorowymi), np. przestrzeniami Hilberta, Banacha; ważną klasą operatorów w takich przestrzeniach są operatory liniowe; operator A jest o. liniowym, jeżeli A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2, gdzie α, β — liczby, x1, x2 — dowolne elementy przestrzeni liniowej; operatorem nieliniowym jest np. operator A podnoszenia do kwadratu: Af(x) = [f(x)]2 określony na pewnym zbiorze funkcji; teorią operatorów w różnych przestrzeniach zajmuje się analiza funkcjonalna; szczególnie rozwiniętym działem teorii operatorów jest teoria operatorów w przestrzeni Hilberta, mająca ogromne znaczenie w mechanice kwantowej i w kwantowej teorii pola.
y1 = a11 x1 + a12x2 + a13x3
y2 = a21x1 + a22x2 + a23x3
y3 = a31x1 + a32x2 + a33x3
lub krócej: y = Ax, przy czym A oznacza tu macierz współczynników liczbowych aik (i, k = 1, 2, 3); podobnie funkcji różniczkowalnej f(x) jest przyporządkowana jej pochodna df(x)/dx — operatorem jest tu operator różniczkowy d/dx; funkcji ciągłej f(t) jest przyporządkowana funkcja h(x) wg wzoru:
, gdzie K(x, t) jest funkcją ciągłą 2 zmiennych; występuje tu tzw. operator całkowy (K(x, t) nazywa się jego jądrem); często zarówno dziedzina, jak i zbiór zawierający zbiór wartości operatora A są przestrzeniami liniowymi (wektorowymi), np. przestrzeniami Hilberta, Banacha; ważną klasą operatorów w takich przestrzeniach są operatory liniowe; operator A jest o. liniowym, jeżeli A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2, gdzie α, β — liczby, x1, x2 — dowolne elementy przestrzeni liniowej; operatorem nieliniowym jest np. operator A podnoszenia do kwadratu: Af(x) = [f(x)]2 określony na pewnym zbiorze funkcji; teorią operatorów w różnych przestrzeniach zajmuje się analiza funkcjonalna; szczególnie rozwiniętym działem teorii operatorów jest teoria operatorów w przestrzeni Hilberta, mająca ogromne znaczenie w mechanice kwantowej i w kwantowej teorii pola.
