Związkom międzyzdaniowym w klasycznym rachunku zdań odpowiadają m.in. pewne
stałe logiczne, a mianowicie
funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych, spośród których najczęściej są używane:
negacja („nieprawda, że...”),
koniunkcja („... i ...”),
alternatywa („... lub...”),
implikacja („jeżeli... , to...”) i
równoważność („...zawsze i tylko, gdy...”). Same zdania są reprezentowane przez zdaniowe
zmienne logiczne;
prawami logicznymi, czyli
tautologiami klasycznego rachunku zdań są wszystkie i tylko takie formuły, które przy wszelkich podstawieniach zdań w miejsce zmiennych zdaniowych stają się zdaniami prawdziwymi. Formuły te są zapisywane za pomocą specjalnej
notacji logicznej (pochodzącej od G. Peana; twórcą notacji beznawiasowej, tzw. polskiej był J. Łukasiewicz). Stanowią one zarazem schematy rozumowań niezawodnych, czyli dedukcyjnych (
dedukcja); stąd logika formalna
sensu stricto bywa też zwana teorią dedukcji. Klasyczny rachunek zdań jest rachunkiem: 1) dwuwartościowym (tj. przyjmuje się w nim tylko 2
wartości logiczne: każde zdanie jest bądź prawdziwe, bądź fałszywe); 2) fregowskim (tj. korelat semantyczny zdania jest identyfikowany z wartością logiczną tego zdania, jak u G. Fregego) i 3) ekstensjonalnym (tj. wartość logiczna zdań zbudowanych za pomocą funktorów klasycznego rachunku zdań zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań składowych, a ustala się za pomocą
matryc logicznych). Odstąpienie od zasady dwuwartościowości, tzw. aksjomatu Fregego lub zasady ekstencjonalności, prowadzi do logiki nieklasycznej: odpowiednio — wielowartościowych (ze zwiększoną liczbą wartości logicznych, jak u Łukasiewicza, niefregowskich (w których równoważność 2 zdań odróżnia się od identyczności ich korelatów semantycznych; są nimi sytuacje, do których się te zdania odnoszą (jak u R. Suszki), i intensjonalnych (z rozszerzoną listą stałych — w szczególności o pewne stałe nieekstensjonalne). Do logik intensjonalnych należą m.in. logiki modalne (z funktorami „jest konieczne, że...” i „jest możliwe, że...”;
modalność zdań), logiki deontyczne (z funktorami „jest obowiązkiem, aby...”, „jest dozwolone, aby...”, „jest zakazane, aby...”), logiki epistemiczne (z funktorami „wiem, że...”, „wierzę, że...” itd.) i logiki temporalne (z funktorami „zawsze jest tak, że...”, „niekiedy jest tak, że...” itd.). Za uogólnienie (
generalizacja) klasycznego rachunku zdań można uważać algebrę abstrakcyjną (
algebra Boole’a); inną interpretacją tej ostatniej jest np. rachunek zbiorów (
mnogości teoria). „Osłabieniem” klasycznego rachunku zdań są logiki intuicjonistyczne (
intuicjonizm), odrzucające np. (przyjmowane na gruncie klasycznego rachunku zdań) prawo wyłącznego środka (
prawa logiczne). „Rozwinięcie w głąb” klasycznego rachunku zdań stanowi klasyczny rachunek kwantyfikatorów (zwany też rachunkiem funkcyjnym lub rachunkiem predykatów), zakładający prawa klasycznego rachunku zdań, ale zarazem wnikający — w przeciwieństwie do tego ostatniego — w strukturę zdań prostych. Są one mianowicie rozkładane na 2
kategorie semantyczne: na
nazwy (indywiduów) i
predykaty, tj. funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych. Swoistymi stałymi klasycznego rachunku kwantyfikatorów są kwantyfikatory: ogólny („dla każdego... , jest tak, że...”) i szczegółowy („dla pewnego... jest tak, że...”), wiążące zmienne nazwowe, tj. zmienne reprezentujące nazwy indywiduów (czyli wartości zmiennych). Klasyczny rachunek kwantyfikatorów jest rachunkiem: 1) jednoargumentowym (tj. ograniczonym do predykatów jednoargumentowych); 2) dwuoperatorowym (tj. stosuje się w nim jako
operatory tylko 2 wspomniane kwantyfikatory) i 3) nazwowym (tj. kwantyfikatory wiążą w nim jedynie zmienne pierwszego rzędu, czyli nazwowe). Można go rozszerzyć w 3 kierunkach: po pierwsze, przez dodanie predykatów wieloargumentowych, w szczególności predykatu
tożsamości („... jest tożsamy z...”); po drugie, przez wzbogacenie o inne operatory, np. deskrypcji („jedyny... , który jest...”, „jakiś... , który jest...”), abstrakcji („klasa takich... , które są...”) i interrogacji („dla jakich... jest tak, że...?” itp., co prowadzi do logik erotetycznych); po trzecie, przez dopuszczenie wiązania kwantyfikatorami zmiennych wyższych rzędów (w tym zmiennych predykatowych).
Alternatywnymi wobec omówionego wyżej ujęcia logiki formalnej są systemy logiczne prototetyki i ontologii (pochodzące od S. Leśniewskiego, ponadto twory mereologii będącej alternatywą dla standardowej teorii mnogości).
Logika formalna
sensu stricto jest najstarszą teorią logiczną; klasyczny rachunek zdań ma swoją poprzedniczkę w dialektyce Filona (
szkoła megarejska) i Chryzypa z Soloj, a klasyczny rachunek kwantyfikatorów — m.in. w teorii wnioskowania bezpośredniego (prawa
kwadratu logicznego) i w
sylogistyce Arystotelesa, tworzących trzon logiki tradycyjnej. Współczesna logika formalna, zwana także logiką matematyczną, logiką symboliczną lub krótko — logistyką, jest bardzo zaawansowaną teorią (za jej twórcę uważa się Fregego i Ch.S. Peirce’a). Przybiera ona jedną z 2 postaci
sformalizowanego systemu dedukcyjnego: 1) postać
systemu aksjomatycznego, tj. systemu
tez, wyprowadzonych z
aksjomatów (których zbiór można uważać za charakterystykę sensu występujących w nich funktorów) za pomocą reguł (reguły
wnioskowania), bądź 2) postać systemu supozycyjnego, tj. systemu samych reguł, czyli systemu dedukcji naturalnej (jak u S. Jaśkowskiego). Równie zaawansowane są fragmenty teorii klasyfikacji i uporządkowania zinterpretowane w teorii mnogości, włączanej niekiedy do logiki
sensu largo. Logika formalna
sensu stricto, jako logika dedukcji, tj. teoria rozumowania niezawodnego, ma swój mniej zaawansowany odpowiednik w logice
indukcji, tj. teorii rozumowania zawodnego. Logika dedukcji i logika indukcji tworzą razem logikę formalną
sensu largo.
Przedmiotem badań logiki są też cechy całych układów zdań, a w szczególności systemów (tj. teorii) naukowych, w tym sformalizowanych systemów dedukcyjnych (
metalogika,
metamatematyka,
metateoria). Teoria takich systemów lub ich fragmentów — formułowana w
metajęzyku — określa ich cechy syntaktyczne (np. niesprzeczność, niezależność, zupełność i rozstrzygalność, badane przez
syntaktykę logiczną), semantyczne (np. pełność, kategoryczność, prawdziwość, sensowność oraz inne
funkcje semantyczne, badane przez
semantykę i
teorię modeli), a także pragmatyczne (np. podleganie uznawaniu, czyli
asercji, lub odrzucaniu, rozumieniu). Ważnym impulsem badań w logice było dążenie do uniknięcia
błędów logicznych w myśleniu, przezwyciężenia
antynomii,
paradoksów i
sofizmatów, oraz do ścisłego wyrażania myśli (
jednoznaczność). Pole badawcze logiki krzyżuje się w wielu miejscach z dziedzinami zainteresowań innych dziedzin nauki, m.in.:
cybernetyki,
erystyki,
językoznawstwa (również
lingwistyki matematycznej),
filozofii, historii nauki,
informatyki,
naukoznawstwa,
prakseologii, psychologii i socjologii wiedzy,
teorii decyzji, teorii gier, teorii komunikacji oraz różnych dyscyplin matematycznych. Bardzo cenne poznawczo wyniki przyniosło zastosowanie
analizy logicznej do rozwiązywania klasycznej problematyki filozoficznej.