przestrzeń Banacha
 
Encyklopedia
przestrzeń Banacha,
mat. jedno z najważniejszych pojęć analizy funkcjonalnej: przestrzeń liniowa, unormowana (odległość ρ(x, y) dwóch jej elementów x, y określa się jako normę ich różnicy: ρ(x, y) = ∥xy∥) i zupełna (tzn. każdy ciąg (xn) elementów przestrzeni Banacha X, który spełnia warunek Cauchy’ego ma granicę: istnieje element xX, taki że ).
Po raz pierwszy systematycznie badana przez S. Banacha (od 1922). Przykładami przestrzeni Banacha są: przestrzeń euklidesowa n-wymiarowa En z normą ||(x1, x2, ... , xn)|| = ; przestrzeń C[0,1] wszystkich funkcji ciągłych na odcinku [0,1] z normą ||x(t)|| = max|x(t)| (maksimum wartości bezwzględnej funkcji x(t) na odcinku [0,1]); przestrzeń lp wszystkich ciągów {xn} z normą ||xn|| =  (p ≥ 1). Przestrzeń Banacha, która jest jednocześnie pierścieniem, a mnożenie z tego pierścienia jest ciągłe, nazywa się algebrą Banacha; pojęcie to wprowadził (1941) i podał jego podstawowe własności I.M. Gelfand. Algebry Banacha, a dokładniej — pewne ich szczególne klasy, stanowią ważne narzędzie mechaniki kwantowej.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia