zbieżność
 
Encyklopedia PWN
zbieżność,
mat. pojęcie określające sposób zachowania się wielkości zmiennej, polegający na skupianiu się jej wokół pewnej wartości;
w matematyce rozważa się rozmaite rodzaje zbieżności; mają one tę samą wspólną cechę: zbieżność ciągu elementów fn (będących np. liczbami, funkcjami, wektorami, funkcjonałami, operatorami) do elementu granicznego f oznacza nieograniczone „zbliżanie się” elementu fn do elementu f, czyli nieograniczone zmniejszanie się „odległości” między elementami fnf przy nieograniczonym zwiększaniu się liczby (wskaźnika) n (w zapisie: n → ∞); zależnie od tego, jak się zdefiniuje wzajemną odległość elementów rozważanego ciągu, otrzymuje się rozmaite rodzaje zbieżności (czyli różne definicje granicy). W szczególności w przypadku ciągu funkcyjnego f1(x), f2(x), ... , fn(x)... , złożonego z funkcji określonych na wspólnym przedziale [a, b], rozróżnia się zbieżność zwyczajną (punktową) oraz zbieżność jednostajną do funkcji granicznej f(x), mianowicie: ciąg funkcyjny fn(x) nazywa się (zwyczajnie lub punktowo) zbieżnym do funkcji granicznej f(x), dla n → ∞, jeżeli dla dowolnej dodatniej liczby ε oraz dla dowolnej liczby x z przedziału [a, b] istnieje liczba dodatnia N(ε, x), zależna od ε i od x, taka że z nierówności n > N(ε, x) wynika nierówność |fn(x) – f(x)| < ε; jeżeli liczba N(ε) zależy jedynie od ε, ale już nie od punktu x z rozważanego przedziału, to ciąg funkcyjny fn(x) nazywa się jednostajnie zbieżnym do funkcji granicznej f(x); w analogiczny sposób można mówić o zbieżności szeregów funkcyjnych, korzystając z pojęcia ciągu sum cząstkowych danego szeregu; ciąg funkcyjny {fn}, określony w przedziale [a, b], nazywa się przeciętnie (średnio) zbieżnym z wykładnikiem p ≥ 1 do funkcji granicznej f(x) na przedziale [a, b], jeżeli ; najczęściej w grę wchodzą tu wykładniki p = 1 oraz p = 2; w przypadku p = 2 zamiast pisze się skrótowo (skrót lim oznacza po łacinie limes in medio, tzn. zbieżnością średnią) i mówi się po prostu o zbieżności przeciętnej. Zbieżność w dowolnej przestrzeni metrycznej M określa się następująco: dla dowolnych dwóch elementów fg, należących do M (f, gM), definiuje się funkcję nieujemną (f, g), zwaną metryką przestrzeni; ciąg elementów fnM nazywa się zbieżnym do elementu fM, jeżeli , co się zapisuje fnf lub ; z równości wynika równość , ale nie na odwrót; ciąg fn spełniający ostatnią równość nazywa się ciągiem Cauchy’ego lub ciągiem podstawowym; ciąg elementów fnH (H — przestrzeń Hilberta) nazywa się słabo zbieżnym do elementu fH (w zapisie fn f), jeżeli dla dowolnego elementu hH zachodzi równość , ( f, h) — iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta, zaś mocno zbieżnym do elementu fH (w zapisie fnf lub fn f), jeżeli , gdzie symbol ||h – || oznacza odległość elementów hf należących do przestrzeni Hilberta H; zbieżność mocna implikuje zbieżność słabą, ale nie na odwrót.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia