ułamek łańcuchowy

ułamek łańcuchowy, ułamek ciągły,

mat. ułamki postaci, gdzie b₀, a₁, b₁, a₂, b₂ itd. są dowolnymi liczbami zespolonymi lub rzeczywistymi;

ułamek ciągły może być skończony lub mieć nieskończenie wiele ilorazów częściowych a_i/b_i; ułamek A_k/B_k otrzymany przez odrzucenie w ułamku ciągłym ilorazów częściowych począwszy od (k + 1)-ego, nazywa się k-tym reduktem i może być obliczony za pomocą wzorów: A_–1 = 1, A₀ = b₀, B_–1 = 0, B₀ = 1, A_k = b_k A_k–1 + a_k A_k–2, B_k = b_k B_k–1 + a_k B_k–2; jeżeli ciąg reduktów jest zbieżny do skończonej granicy, to ułamek ciągły nazywa się zbieżnym, w przeciwnym przypadku — rozbieżnym; ułamek ciągły nazywa się arytmetycznym, jeżeli a_i = 1, b₀ jest całkowite, b_i (i > 0) — naturalne; ułamek ciągły arytmetyczny jest zbieżny; każda liczba rzeczywista rozwija się na ułamek ciągły arytmetyczny, który jest skończony tylko dla liczb wymiernych. Ułamek ciągły wprowadził R. Bombelli (1572); teorię ułamka ciągłego stworzyli Ch. Huygens, L. Euler, J.L. Lagrange; ostatnio ułamki ciągłe zyskały ponownie duże znaczenie m.in. w związku z obliczeniami komputerowymi.