granica

granica,

mat. jedno z podstawowych pojęć matematyki, spotykane przede wszystkim w szeroko rozumianej analizie matematycznej i topologii; wyraża pojmowany intuicyjnie fakt zbliżania się jakiejś wielkości do ustalonej wartości.

1) Granicą ciągu liczbowego a₁, a₂, ... , a_n, ... nazywa się liczbę g spełniającą warunek: dla każdego ε > 0 istnieje n₀ takie, że |a_n –g| < ε zachodzi dla każdego n > n₀; n₀ jest tu liczbą, którą dobiera się do z góry zadanej liczby ε (n₀ = n₀(ε)); powyższy warunek oznacza, że w dowolnym przedziale — otoczeniu granicy (g – ε, g + ε), leżą prawie wszystkie wyrazy rozważanego ciągu, tzn. poza tym przedziałem znajduje się skończona liczba wyrazów, np. ciąg ma granicę g = 1. Jeżeli ciąg {a_n} ma granicę g, to fakt ten zapisuje się symbolicznie: (lim, skrót łacińskiego limes ‘granica’) lub i mówi się, że ciąg {a_n} jest zbieżny do g. Ciąg, który nie ma granicy nazywa się rozbieżnym, np. ciąg a _n = (–1)ⁿ nie ma granicy, jest więc rozbieżny.

2) Granicą funkcji f(x) w punkcie x₀ nazywa się liczbę g, jeżeli x₀ jest punktem skupienia argumentów funkcji f(x) i jeżeli dla dowolnego ciągu x_n argumentów zbieżnego do x₀ (przy czym x_n ≠ x₀) zachodzi równość ; pisze się wówczas ; np. , . Ścisłe określenie granicy podał 1821–23 A. Cauchy. Inne, równoważne określenie granicy funkcji podał 1880 K. Weierstrass.

3) Granicą ciągu punktów p_n przestrzeni metrycznej (P, ρ) nazywa się taki punkt p₀ ∈ P, że .