granica
 
Encyklopedia PWN
granica,
mat. jedno z podstawowych pojęć matematyki, spotykane przede wszystkim w szeroko rozumianej analizie matematycznej i topologii; wyraża pojmowany intuicyjnie fakt zbliżania się jakiejś wielkości do ustalonej wartości.
1) Granicą ciągu liczbowego a1, a2, ... , an, ... nazywa się liczbę g spełniającą warunek: dla każdego ε > 0 istnieje n0 takie, że |ang| < ε zachodzi dla każdego n > n0; n0 jest tu liczbą, którą dobiera się do z góry zadanej liczby ε (n0 = n0(ε)); powyższy warunek oznacza, że w dowolnym przedziale — otoczeniu granicy (gε, g + ε), leżą prawie wszystkie wyrazy rozważanego ciągu, tzn. poza tym przedziałem znajduje się skończona liczba wyrazów, np. ciąg ma granicę g = 1. Jeżeli ciąg {an} ma granicę g, to fakt ten zapisuje się symbolicznie: (lim, skrót łacińskiego limes ‘granica’) lub i mówi się, że ciąg {an} jest zbieżny do g. Ciąg, który nie ma granicy nazywa się rozbieżnym, np. ciąg a n = (–1)n nie ma granicy, jest więc rozbieżny.
2) Granicą funkcji f(x) w punkcie x0 nazywa się liczbę g, jeżeli x0 jest punktem skupienia argumentów funkcji f(x) i jeżeli dla dowolnego ciągu xn argumentów zbieżnego do x0 (przy czym xnx0) zachodzi równość ; pisze się wówczas ; np. , . Ścisłe określenie granicy podał 1821–23 A. Cauchy. Inne, równoważne określenie granicy funkcji podał 1880 K. Weierstrass.
3) Granicą ciągu punktów pn przestrzeni metrycznej (P, ρ) nazywa się taki punkt p0P, że .
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia