pochodna funkcji
 
Encyklopedia PWN
pochodna funkcji,
mat. tempo zmian wartości funkcji;
jedno z podstawowych pojęć rachunku różniczkowego: niech y = f(x) oznacza funkcję ciągłą i określoną w przedziale (a, b); jeśli argumenty x oraz x + Δxx — przyrost) należą do przedziału (a, b) i jeśli istnieje granica , to granicę tę nazywa się pochodną funkcji f(x) w punkcie x i oznacza symbolem f ′(x) lub df(x)/dx; wyrażenie [f(x + Δx) – f(x)]/Δx nazywa się przy tym ilorazem różnicowym, a pochodną df(x)/dx ilorazem różniczkowym; geometrycznie pochodna funkcji f(x) przedstawia nachylenie stycznej, czyli tangens kąta α, który styczna do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie P(x, f(x)) tworzy z dodatnim kierunkiem osi odciętych (osi x-ów); w różnych punktach pochodna f ′(x) może mieć różne wartości, a więc odpowiadająca jej styczna do wykresu — różne nachylenia względem osi odciętych. Jeśli funkcja y = f(x) ma w każdym punkcie pewnego przedziału pochodną, to mówi się, że funkcja ta jest w tym przedziale różniczkowalna, np. funkcja y = sinx jest różniczkowalna w przedziale (–∞, +∞) i jej pochodna wynosi cosx, w zapisie: (sinx)′ = cosx; jeśli w danym przedziale funkcja jest różniczkowalna, to jest w nim ciągła, ale nie na odwrót (np. funkcja y = |x| jest ciągła w przedziale (–1, +1), ale nie ma pochodnej w zerze); jeśli w jakimś przedziale (a, b) pochodna f ′(x) jest dodatnia (ujemna), to w tym przedziale funkcja f(x) jest rosnąca (malejąca); miejsca na osi odciętych, w których pochodna równa się zeru (f ′(x) = 0), nazywają się punktami stacjonarnymi; o tym, jaki charakter ma dany punkt stacjonarny, decyduje druga (ewentualnie czwarta, szósta itd.) pochodna f ″(x), mianowicie: jeśli w danym punkcie stacjonarnym x0 druga pochodna, f ″(x0), jest dodatnia (ujemna), to w tym punkcie jest minimum (maksimum); jeśli zaś f ″(x0) = 0, ale f ″′(x0) ≠ 0 (lub któraś dalsza pochodna rzędu nieparzystego jest różna od zera), to punkt P (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia. Pochodne mają liczne zastosowania praktyczne, m.in. pomagają badać przebiegi różnych funkcji. W przypadku funkcji dwóch lub więcej zmiennych niezależnych wprowadza się pojęcie pochodnych cząstkowych względem każdej ze zmiennych niezależnych; np. funkcja u = x2y + y2z + z2x ma pochodne cząstkowe I rzędu: ∂u/∂x = 2xy + z2, ∂u/∂y = x2 + 2yz, ∂u/∂z = y2 + 2zx, a pochodne II rzędu ∂2u/∂y2 = 2z, ∂2u/∂z2 = 2x, ∂2u/∂zx = ∂2u/∂xz = 2z itd.; pochodne typu ∂2u/∂xy, ∂3u/∂xyz, ∂3u/∂x2z nazywają się pochodnymi mieszanymi; pochodne cząstkowe pozwalają również znajdować lokalne maksima i minima funkcji wielu zmiennych, przy czym sprawa jest tu nieco bardziej złożona.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia