funkcje analityczne
 
Encyklopedia PWN
funkcje analityczne,
mat. funkcje, które mogą być przedstawione lokalnie w postaci sumy szeregu potęgowego;
obejmują one m.in. funkcje wielomianowe, wymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, kołowe, specjalne. Funkcja zespolona zmiennej zespolonej w = f(z), określona w obszarze D płaszczyzny zespolonej, nazywa się funkcją analityczną w punkcie z0 należącym do obszaru D, jeżeli w otoczeniu tego punktu daje się przedstawić w postaci szeregu potęgowego:
f(z) = a0 + a1(z – z0) + a2(z – z0)2 + ...
Funkcja f(z) analityczna w punkcie z0 ma w tym punkcie wszystkie pochodne, przy czym pochodna rzędu n wyraża się wzorem f(n)(z0) = n!an (n = 0, 1, 2, ...; szereg Taylora). Funkcja f(z) nazywa się funkcją analityczną w obszarze D, jeżeli jest analityczna w każdym punkcie tego obszaru. Funkcję f(z), analityczną w pewnym obszarze, można zapisać następująco: f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), przy czym funkcje rzeczywiste uv spełniają równania Cauchy’ego–Riemanna:
∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/ ∂y = –∂v/∂x.
Przykłady funkcji analitycznych:
ez = 1 + z + z2/2! +... + zn/n! + ...
sin z = z – z3/3! + z5/5! – ...
cos z = 1 –z2/2! + z4/4! – ...
Funkcje analityczne mają liczne zastosowania w fizyce i technice.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia