Cauchy’ego wzór całkowy

Cauchy’ego wzór całkowy

[w. c. kosziego],

mat. jeden z podstawowych wzorów teorii funkcji analitycznych;

rozważany po raz pierwszy 1831 przez A.L. Cauchy’ego. Jeżeli f(z) jest funkcją holomorficzną w obszarze jednospójnym D i jeżeli C jest krzywą prostowalną (tzn. o skończonej długości), zamkniętą i położoną wewnątrz D, to funkcję f(z) — dla z położonych wewnątrz obszaru ograniczonego krzywą C — można wyrazić za pomocą całki krzywoliniowej wzorem (jest to właśnie wzór całkowy Cauchy’ego):

, z którego wynika, że każda funkcja holomorficzna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna i że w otoczeniu każdego punktu obszaru D daje się rozwinąć w szereg Taylora. Ze wzoru całkowego Cauchy’ego wynika również wzór na n-tą pochodną funkcji f(z), mianowicie:

.