grupa
 
Encyklopedia
grupa
[niem.],
mat. zbiór G dowolnych elementów a, b, c, wraz z działaniem ∘, które każdej uporządkowanej parze elementów a, b zbioru G przyporządkowuje jakiś element c z tego zbioru i takie, że są spełnione następujące aksjomaty: 1) a ∘ (bc) = (ab) ∘ c (prawo łączności); 2) w zbiorze G istnieje element e, taki że ae = ea = a dla każdego elementu a ze zbioru G; element e nazywa się elementem neutralnym lub jedynką; 3) dla każdego elementu a ze zbioru G istnieje w tym zbiorze element f, taki że af = fa = e (odwrotność elementu a).
Niekiedy działanie grupowe oznacza się symbolem „+” (zapis addytywny) — wtedy element e nazywa się zerem, a element fprzeciwnym do a. Gdy w grupie zachodzi prawo przemienności, tzn. gdy dla dowolnych elementów a, b zachodzi równość a ∘ b = b ∘ a, to grupa taka nazywa się przemienną lub abelową. Np. 4 liczby zespolone 1, –1, i, –i ze zwykłym mnożeniem jako działaniem grupowym tworzą grupę, podobnie jak zbiór wszystkich liczb całkowitych 0, ±1, ±2, ... z działaniem dodawania jako działaniem grupowym. Pojęcie grupy wprowadził É. Galois. Obecnie teoria grup jest jedną z głównych gałęzi algebry. Ma szerokie zastosowanie w matematyce (np. teoria węzłów), ornamentyce, fizyce (w teorii cząstek elementarnych), w zagadnieniach związanych z symetrią cząsteczek (grupy punktowe) i w krystalografii (krystalograficzne grupy punktowe, grupy translacyjne, grupy przestrzenne).
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia