grupa prosta
 
Encyklopedia
grupa prosta,
mat. grupa, której jedynymi dzielnikami normalnymi (grupa, mat.) są: cała grupa i podgrupa składająca się jedynie z elementu neutralnego.
Istnieje pewna analogia g.p. do liczb pierwszych, przynajmniej w przypadku grup skończonych: tak jak każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych, tak każdą grupę skończoną można skonstruować z pewnej liczby jednoznacznie określonych g.p. Od wielu lat jednym z gł. zagadnienień teorii grup skończonych jest więc klasyfikacja skończonych g.p. (grup teoria); od 1981 przyjmuje się, że ta klasyfikacja jest zakończona, jednakże nie istnieje jej zwarte, jednolite opracowanie. Zgodnie z aktualną wiedzą istnieje 18 nieskończonych rodzin g.p. oraz 26 tzw. sporadycznych g.p., nie wchodzących w skład tych rodzin. Najbardziej znanymi przykładami są grupy ℤp (można je określić jako te, których liczba elementów jest liczbą pierwszą p — są to jedyne abelowe g.p.) oraz grupy alternujące &Adbl.x;n (których elementami są wszystkie permutacje parzyste stopnia n, n > 4). Ponadto są 4 tzw. klas. rodziny g.p. (specjalne liniowe, symplektyczne, ortogonalne i unitarne), występujące wśród 16 rodzin grup typu Liego, z których 9 rodzin to grupy Chevalleya, zw. także nieskręconymi (ang. untwisted) grupami typu Liego oraz 7 rodzin skręconych (ang. twisted) grup typu Liego. Pierwsze sporadyczne g.p. (w liczbie 5) skonstruował matematyk fr. E.L. Mathieu w latach 60. XIX w. Pozostałe 21 skonstruowano między poł. lat 60. i pocz. lat 80. XX w. Ostatnią znalezioną sporadyczną g.p. jest grupa zawierająca 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 elementów — ze względu na tę liczbę zw. grupą Monstrum (ang. Monster group). W teorii grup nieskończonych g.p. nie odgrywają aż tak wielkiej roli, m.in. dlatego, że ich klasyfikacja wydaje się być poza granicami wyobraźni. Przykładem nieskończonej g.p. jest grupa wszystkich parzystych permutacji nieskończonego zbioru, działających nietożsamościowo jedynie na skończonych podzbiorach. Można udowodnić, że dowolna grupa jest izomorficzna z pewną podgrupą g.p. Ważne przykłady nieskończonych g.p. podał ros. matematyk A. Olszanski: dla dostatecznie dużych liczb pierwszych p skonstruował grupy nieskończone, w których każdy element spełnia warunek xp = 1, a jedynymi podgrupami są podgrupy mające p elementów.
Czesław Bagiński
Bibliografia
D. Gorenstein Finite Simple Groups. An Introduction to Their Classification, New York–London 1982;
D. Gorenstein, R. Lyons, R. Solomon The Classification of the Finite Simple Groups, «Mathematical Surveys and Monographs», vol. 40 nr 1–3, Rhode Island 1994–98.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia