grup teoria
 
Encyklopedia PWN
grup teoria,
mat. dział matematyki poświęcony opisowi grup (grupa) — struktur algebraicznych najczęściej spotykanych w matematyce i jej zastosowaniach.
Główny nurt teorii, zaliczany do algebry, dzieli się obecnie na kilka ważnych działów, różniących się tematyką badań, metodami badawczymi oraz zastosowaniami; są to: t.g. skończonych, reprezentacje grup, teoria rozmaitości grup, t.g. z warunkami skończoności, t.g. abelowych, t.g. nilpotentnych, t.g. rozwiązalnych, kombinatoryczna t.g. Ponadto istnieje kilka dużych, w znacznym stopniu samodzielnych działów, zajmujących się badaniem grup z dodatkową strukturą (zgodną z operacją grupową) lub grup związanych z zapotrzebowaniem innych niż algebra gałęzi matematyki, np. grupy: topologiczne, uporządkowane, Liego, algebraiczne, liniowe.
Podział ogólnej t.g. na szczegółowe działy jest wynikiem podziału klasy wszystkich grup na klasy grup o określonej strukturze, także wynikiem różnic w zapotrzebowaniach innych teorii, w których dany dział ma zastosowanie, i wreszcie — różnic w metodach badawczych. Na przykład w t.g. skończonych do najważniejszych zadań przez ponad 100 lat należała klasyfikacja i opis wewn. własności grup prostych — swego rodzaju odpowiedników cząstek elementarnych wśród grup; od kilkudziesięciu lat dużą uwagę poświęca się badaniom skończonych p-grup, tzn. grup, w których liczba elementów jest potęgą liczby pierwszej p, grupom permutacji i działań grup na zbiorach skończonych, działań grup na grafach i in. strukturach; wiele metod badawczych i idei wypracowanych w ramach tej teorii w sposób naturalny przeniesiono na opis grup nieskończonych. W t.g. z warunkami skończoności najważniejsze wyniki uzyskano w związku z tzw. problemami Burnside’a, stosując różnorodne techniki, w tym metody geom. i metody charakterystyczne dla teorii algebr Liego; w kombinatorycznej t.g. dominują zagadnienia dotyczące grup z jedną relacją określającą, rachunku komutatorów, rozmaitości grup i pewnych problemów algorytmicznych. Z kolei t.g. abelowych, zajmująca się opisem grup, w których działanie grupowe jest przemienne, w bardzo małym stopniu korzysta z dorobku ogólnej t.g., jak również niewiele idei do tej ogólnej teorii wnosi, koncentrując się m.in. na kwestiach wynikających z ogólnej teorii modułów i zastosowaniach m.in. w algebrze homologicznej.
Abstrakcyjne pojęcie grupy ukształtowało się przede wszystkim na gruncie pojęcia grupy przekształceń. Jednocześnie reprezentowanie grup abstrakcyjnych jako grup przekształceń pewnych obiektów mat. jest jedną z najskuteczniejszych metod badawczych stosowanych w t.g., ponieważ pozwala ono na opis własności grup na podstawie tego, jak oddziałują one na te obiekty. Stąd niezwykle ważną rolę w ogólnej t.g. odegrały i odgrywają grupy permutacji zbiorów skończonych, grupy macierzy odwracalnych o współczynnikach z pierścienia przemiennego lub ciała (tak skończonego, jak i nieskończonego), grupy automorfizmów innych struktur algebraicznych (np. prostych i półprostych algebr Liego). Z drugiej strony opis grup przekształceń pewnej mat. struktury pozwala uzyskać ważne informacje o samej strukturze. Właśnie z takiego zapotrzebowania istniejących teorii pojawiły się grupy wymienione wyżej — grupy permutacji pojawiły się przy okazji prób rozwiązania problemu rozwiązalności równań algebraicznych; grupy liniowe, ich podgrupy oraz grupy, które można z nich otrzymać za pomocą standardowych konstrukcji ilorazowych, wynikły z potrzeb teorii powierzchni riemanowskich i potrzeb funkcji analitycznych, teorii liczb, algebr Liego itp. Pojęcie grupy w takiej postaci jest więc najczęściej spotykane zarówno w matematyce, jak i w innych dziedzinach wiedzy (fizyka, chemia).
Zastosowania. T.g. należy do najbardziej rozwiniętych działów algebry. Ma wielorakie zastosowania zarówno w samej matematyce (geometria, topologia, teoria liczb, teoria funkcji, równania różniczkowe i in.), jak i w innych dziedzinach wiedzy (mechanika kwantowa, kwantowa teoria pola, krystalografia i in.). Najczęściej spotykanym aspektem zastosowań t.g. są grupy przekształceń pewnych zbiorów (struktur mat., fiz., chem.). Grupa przekształceń pewnego obiektu, nie zmieniających jego pewnej strukturalnej cechy, często może być interpretowana jako zbiór jego symetrii; np. molekuła fosforu składa się z 4 atomów rozmieszczonych w wierzchołkach czworościanu foremnego — grupa symetrii tej molekuły jest grupą izometrii owego czworościanu. Ze względu na duży stopień symetrii występujący w budowie kryształu — grupa symetrii kryształu jest jego bardzo ważną charakterystyką. Dla fizyki duże znaczenie mają symetrie pól (grupy Liego w teoriach cechowania), symetrie układów odniesienia: w mechanice Newtona — grupa Galileusza, w szczególnej teorii względności — grupa Lorentza, w ogólnej teorii względności — grupa dyfeomorfizmów. Pewne cechy symetrii mogą mieć również abstrakcyjne obiekty mat., jak funkcje (np. funkcje symetryczne) czy struktury algebraiczne (np. grupy automorfizmów ciał, pierścieni wielomianów). Historycznie pierwszym przykładem zastosowania t.g. w naukach przyr. było rozwiązanie problemu klasyfikacji przestrzennych układów punktów, będącego jednym z podstawowych problemów krystalografii (klasy krystalograficzne). Innym aspektem zastosowań t.g. są strukturalne własności pewnych obiektów mat., pozwalające im samym narzucić strukturę grupy. Taki charakter mają m.in. grupy klas ideałów (algebraiczna teoria liczb), grupa podstawowa, grupy homotopii (topologia), grupy homologii i kohomologii.
Zarys historyczny. Ogólne pojęcie grupy jest jednym z najwcześniejszych abstrakcyjnych systemów algebraicznych. Pierwsze idee grupy pojawiły się w pracy L. Eulera z teorii liczb (1761), poświęconej resztom przy dzieleniu potęg jednej liczby naturalnej przez drugą. Ważniejszą rolę odegrała jednak praca J.L. Lagrange’a (1770), dotycząca ogólnej metody rozwiązań przez pierwiastniki równań algebraicznych stopnia większego niż 4. Prace P. Ruffiniego (1799) i N.H. Abela (1826), w których wykorzystano pewne własności grup permutacji, ostatecznie wykazały nieistnienie takiej metody. W 1830 E. Galois podał warunki wystarczające i konieczne do tego, aby równanie algebraiczne było rozwiązalne przez pierwiastniki. Idea Galois polegała na przypisaniu każdemu równaniu pewnej grupy permutacji jego pierwiastków. Z opisu własności tej grupy wynika, kiedy równanie jest, a kiedy nie jest rozwiązalne. Od Galois pochodzą ważne pojęcia t.g., takie jak podgrupa normalna, grupa ilorazowa, grupa rozwiązalna i grupa prosta. Jemu także przypisuje się wprowadzenie nazwy „grupa”, aczkolwiek używał on jej w innym, szerszym znaczeniu. Ważną rolę w kształtowaniu się początków t.g. odegrały prace A.L. Cauchy’ego (1816, 1846) dotyczące grup permutacji. Z wstępnego okresu rozwoju pojęcia grupy należy wymienić jeszcze pracęC.F. Gaussa dotyczącą form kwadratowych.
Niezależnie od potrzeb algebry i teorii liczb, pojęcie grupy pojawiło się również z zapotrzebowania geometrii. F. Klein w swoim programie erlangeńskim (1872) za podstawę klasyfikacji geometrii przyjął pojęcie grupy przekształceń. Już wtedy były znane przykłady takich grup, związanych m.in. z teorią powierzchni Riemanna. Skuteczność metody Galois spowodowała podjęcie próby wykorzystania grup do rozwiązywania równań różniczkowych (S. Lie, lata 70. XIX w.). Doprowadziło to do stworzenia t.g. Liego, a także t.g. algebraicznych, mających obecnie duże zastosowania w wielu gałęziach matematyki.
Pierwszą, jeszcze nieprecyzyjną definicję grupy, obejmującą pojęcie tylko grupy skończonej, podał A. Cayley (1854). Szybki rozwój t.g. skończonych nastąpił po ukazaniu się pracy C. Jordana Traité des substitutiones et des équations algébraiques (1870) — pierwszej poświęconej t.g. Dzięki wysiłkom P.L. Sylowa, Jordana, F.G. Frobeniusa, a potem również O. Höldera, W. Burnside’a, I. Schura, G. Millera, powstały podstawowe wyniki, techniki i metody badań: do dziś ważną rolę odgrywają twierdzenia Sylowa, opisujące pewne strukturalne własności grup skończonych. Teoria reprezentacji grup skończonych, stworzona przez Frobeniusa, przy dużym udziale Schura i Burnside’a, stanowi obecnie odrębny, nowoczesny dział matematyki. W opracowaniu Theory of Groups of Finite Orders (1897, znacznie rozsz. wyd. 2 1911) Burnside wytyczył na wiele lat kierunki badań w ogólnej t.g. — pokazał niezwykłą skuteczność metod teorii reprezentacji liniowych, zapoczątkował systematyczną klasyfikację skończonych grup prostych; tzw. problemy Burnside’a skierowały uwagę na kluczowe zagadnienia z pogranicza grup skończonych i nieskończonych oraz odegrały ważną rolę w teorii pierścieni nieprzemiennych i algebr Liego (problemy typu Burnside’a).
W 1895 H. Poincaré w ważnej dla podstaw topologii pracy Analysis Situs wprowadził pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej. Nie jest to grupa przekształceń — jej konstrukcja jest blisko związana z pewnymi strukturalnymi własnościami przestrzeni topologicznej. Pojęcie to stało się bardzo szybko jednym z kluczowych w zagadnieniach klasyfikacyjnych topologii, a z czasem, razem z badaniami grup skończonych i macierzowych, doprowadziło do powstania kombinatorycznej t.g., stanowiącej obecnie żywo rozwijający się dział, mający ogromne znaczenie zarówno dla ogólnej teorii, jak i dla jej zastosowań (gł. w topologii). Metody stosowane w kombinatorycznej t.g. pozwalają na to, aby niektóre problemy dotyczące opisu własności grupy sprowadzić do zagadnień natury algorytmicznej. Ważny wkład w rozwój podstaw tej teorii na pocz. XX w. wnieśli H. Tietze i M. Dehn; podstawowe problemy Dehna, sformułowane w jego pracy z 1910 (problem rozpoznawania równości słów, problem rozpoznawania sprzężoności, problem izomorfizmu), stanowią także obecnie jedno z ważniejszych kryteriów klasyfikacyjnych grup.
Badanie grup bez założenia skończoności i bez żadnych założeń co do natury elementów przekształciło się w samodzielną gałąź matematyki wraz z ukazaniem się pracy ros. matematyka i geografa O. Schmidta Abstraktnaja tieorija grup (1916). W latach 20. i 30. XX w. intensywnie rozwijała się kombinatoryczna t.g. i jej zastosowania w topologii. Do najważniejszych osiągnięć z tego okresu należą wyniki O. Schreiera, K. Reidemeistera i W. Magnusa. Jednocześnie w tym czasie obserwuje się pewien zastój w t.g. skończonych.
Bujny rozwój ogólnej t.g. nastąpił od pocz. lat 40. Szczególnie ważne wyniki osiągnięto w tym czasie w t.g. abelowych, grup nilpotentnych i rozwiązalnych, a także w t.g. z warunkami skończoności. Gwałtowne ożywienie nastąpiło również w t.g. skończonych — wykorzystując związki grup skończonych z algebrami Liego, C. Chevalley opisał (1955) nieznane dotychczas nieskończone rodziny skończonych grup prostych, a prace R. Brauera skierowały uwagę na tzw. modularne reprezentacje grup i tzw. lokalną metodę. Ten etap rozwoju zakończył się pełną klasyfikacją skończonych grup prostych (1981). Pełny dowód klasyfikacji, którego objętość szacuje się na 10 000–15 000 stron (rozrzuconych w 400–500 artykułach), został uzyskany dzięki wysiłkom kilkuset matematyków, gł. z USA, Wielkiej Brytanii, Niemiec i Japonii. Najważniejsze i najbardziej spektakularne wyniki dla klasyfikacji uzyskał J. Thompson, który 1963, wspólnie z W. Feitem, udowodnił rozwiązalność grup nieparzystego rzędu, a następnie sklasyfikował minim. grupy proste; za ten ostatni wynik 1972 otrzymał Medal Fieldsa.
Do najważniejszych osiągnięć ogólnej t.g. ostatnich dziesięcioleci należą również wyniki związane z problemami Burnside’a. W 1994 J. Zielmanow otrzymał Medal Fieldsa za ostateczne rozwiązanie tzw. ograniczonego problemu Burnside’a. Inne, nie mniej ważne badania dotyczące tych problemów doprowadziły do stworzenia różnego rodzaju metod kombinatorycznych, geom. i topologicznych — największy wkład wnieśli tu matematycy rosyjscy. Wśród zasłużonych dla rozwoju ogólnej t.g. w XX w., oprócz wymienionych matematyków, byli m.in.: S.I. Adjan, G. Baumslag, L. Fuchs, M. Hall, P. Hall, G. Higman, A. Kostrikin, A. Kurosz, A. Malcew, B.H. Neumann, M. Suzuki, H. Zassenhaus.
W latach 50. i 60. XX w. w t.g. abelowych ciekawe wyniki uzyskali: S. Balcerzyk, A. Białynicki-Birula, L. Jeśmanowicz, J. Łoś, A. Mostowski.
Czesław Bagiński
Bibliografia
M.I. Kargapołow, J.I. Mierzlakow Podstawy teorii grup, wyd. 2, Warszawa 1989;
B. Huppert Endliche Gruppen I, Berlin–Heidelberg–New York 1966;
R.C. Lyndon, P.E. Shupp Kombinatorial Group Theory, Berlin–Heidelberg–New York 1977;
D.J.S. Robinson A Course in the Theory of Groups, Berlin–Heidelberg–New York 1982.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia