macierz

macierz,

mat. dwuwskaźnikowa tablica, której elementy pochodzą z ustalonego pierścienia R (można utworzyć macierz z liczb, funkcji itp.).

Dowolna macierz A o m wierszach i n kolumnach (macierz m × n), o składowych a_ij, ma postać

; np. macierz ma 2 wiersze i 3 kolumny. Jeżeli liczba wierszy m jest równa liczbie kolumn n, to macierz nazywa się kwadratową, n — jej stopniem, a sumę jej elementów a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn — śladem. Symbolem det A oznacza się wyznacznik macierzy kwadratowej A; jeżeli det A = 0, to A nazywa się macierzą osobliwą, a w przypadku przeciwnym — nieosobliwą (det A ≠ 0). Macierz postaci:

, ,

nazywają się kolejno: diagonalną, jednostkową (I), zerową.

Jeżeli A = [a_ij] oraz B = [b_ij] są macierzami m × n, to można je dodać: składowymi macierzy C = A + B są elementy c_ij = a_ij + b_ij dla dowolnych i, j. Jeżeli A = [a_ij] jest macierzą m × n, a B = [b_ij] macierzą n × k, to ich iloczyn D = A·B jest macierzą m × k o składowych d_ij, określonych wzorem d_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + ... + a_inb_nj dla i = 1, ... , m, j = 1, ... , k. Zatem, aby pomnożyć dwie macierze, mnoży się kolejne wiersze pierwszej z nich przez kolumny drugiej, np.

.

Dodawanie macierzy podlega prawom łączności i przemienności, mnożenie zaś podlega prawom łączności i rozdzielności mnożenia względem dodawania; mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne, tzn. na ogół A · B ≠ B · A, np.

, a .

Elementem neutralnym mnożenia macierzy kwadratowych jest macierz jednostkowa (A · I = I · A = A). Zbiór macierzy kwadratowych M_n(R) o składowych z pierścienia R jest również pierścieniem (z działaniami dodawania i mnożenia macierzy).

Jeżeli w macierzy prostokątnej A skreśli się pewną liczbę wierszy oraz pewną liczbę kolumn, tak by pozostałe elementy tworzyły macierz kwadratową M (podmacierz), to jej wyznacznik det M nazywa się minorem macierzy A; przykładami minorów macierzy są: , , det[2] = 2; są to minory, odpowiednio, trzeciego, drugiego i pierwszego stopnia. Najwyższy ze stopni niezerowych minorów nazywa się rzędem macierzy. Jeśli w macierzy A = [a_ik] zamieni się kolumny na wiersze i na odwrót, to otrzymana macierz A^T = [a_ki] nazywa się macierzą przestawioną lub transponowaną. Dla macierzy kwadratowej A = [a_ik] macierz o elementach b_ik = (–1)^i + kM_ki/detA, gdzie M_ki oznacza minor otrzymany po skreśleniu w macierzy A k-tego wiersza i i-tej kolumny, nazywa się macierzą odwrotną do A i oznacza symbolem A^–1 (AA^–1 = A^–1A = I). Jeżeli elementy a_ik macierzy A są liczbami zespolonymi, to macierz Ā o elementach ā_ik, sprzężonych względem elementów a_ik, nazywa się macierzą sprzężoną względem macierzy A; macierz jest symetryczna — gdy A^T = A, ortogonalna — gdy A^T = A^–1, hermitowska — gdy A^T = Ā, unitarna — gdy Ā^T = A^–1. Dwie macierze kwadratowe A i B tego samego stopnia nazywają się równoważnymi (lub podobnymi) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz kwadratowa nieosobliwa T, taka że A = T^–1BT.

Ważnym (ze względu na zastosowania) problemem teorii macierzy jest zagadnienie sprowadzania danej macierzy kwadratowej A do postaci kanonicznej, np. do postaci diagonalnej. W tym celu rozwiązuje się równanie charakterystyczne:

Jeżeli to równanie ma n różnych pierwiastków λ₁, λ₂, ... , λ_n, to dana macierz A jest równoważna macierzy:

Elementy a_ik macierzy A można interpretować jako współczynniki przekształcenia liniowego:

y₁ = a₁₁ x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1nx_n

....................................................

y_m = a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_mnx_n.

Wówczas macierz A = [a_ik] nazywa się macierzą tego przekształcenia. Zatem można to przekształcenie zapisać krótko w postaci macierzowej: y = Ax^T, gdzie x i y oznaczają macierze jednokolumnowe [x₁, ... , x_n] i [y₁, ... , y_m].

Macierze są wszechstronnie stosowanym narzędziem matematyki: opisują układy równań liniowych, algebraicznych i różniczkowych, przekształcenia liniowe, stożkowe i kwadryki, mają zastosowania w analizie matematycznej i geometrii różniczkowej, odgrywają zasadniczą rolę w algebrze nieprzemiennej itd. Powstanie pojęcia macierzy, jak też początki rachunku macierzowego przypadają na połowę XIX w. (prace A. Cayleya i E. Laguerre’a). Podstawy teorii macierzy jako dyscypliny algebraicznej stworzyli K. Weierstrass, C. Jordan i F.G. Frobenius w 2. połowie XIX w.