macierz
 
Encyklopedia PWN
macierz,
mat. dwuwskaźnikowa tablica, której elementy pochodzą z ustalonego pierścienia R (można utworzyć macierz z liczb, funkcji itp.).
Dowolna macierz A o m wierszach i n kolumnach (macierz m × n), o składowych aij, ma postać
; np. macierz ma 2 wiersze i 3 kolumny. Jeżeli liczba wierszy m jest równa liczbie kolumn n, to macierz nazywa się kwadratową, n — jej stopniem, a sumę jej elementów a11 + a22 + ... + annśladem. Symbolem det A oznacza się wyznacznik macierzy kwadratowej A; jeżeli det A = 0, to A nazywa się macierzą osobliwą, a w przypadku przeciwnym — nieosobliwą (det A ≠ 0). Macierz postaci:
, ,
nazywają się kolejno: diagonalną, jednostkową (I), zerową.
Jeżeli A = [aij] oraz B = [bij] są macierzami m × n, to można je dodać: składowymi macierzy C = A + B są elementy cij = aij + bij dla dowolnych i, j. Jeżeli A = [aij] jest macierzą m × n, a B = [bij] macierzą n × k, to ich iloczyn D = A·B jest macierzą m × k o składowych dij, określonych wzorem dij = ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj dla i = 1, ... , m, j = 1, ... , k. Zatem, aby pomnożyć dwie macierze, mnoży się kolejne wiersze pierwszej z nich przez kolumny drugiej, np.
.
Dodawanie macierzy podlega prawom łączności i przemienności, mnożenie zaś podlega prawom łączności i rozdzielności mnożenia względem dodawania; mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne, tzn. na ogół A · B ≠ B · A, np.
, a .
Elementem neutralnym mnożenia macierzy kwadratowych jest macierz jednostkowa (A · I = I · A = A). Zbiór macierzy kwadratowych Mn(R) o składowych z pierścienia R jest również pierścieniem (z działaniami dodawania i mnożenia macierzy).
Jeżeli w macierzy prostokątnej A skreśli się pewną liczbę wierszy oraz pewną liczbę kolumn, tak by pozostałe elementy tworzyły macierz kwadratową M (podmacierz), to jej wyznacznik det M nazywa się minorem macierzy A; przykładami minorów macierzy są: , , det[2] = 2; są to minory, odpowiednio, trzeciego, drugiego i pierwszego stopnia. Najwyższy ze stopni niezerowych minorów nazywa się rzędem macierzy. Jeśli w macierzy A = [aik] zamieni się kolumny na wiersze i na odwrót, to otrzymana macierz AT = [aki] nazywa się macierzą przestawioną lub transponowaną. Dla macierzy kwadratowej A = [aik] macierz o elementach bik = (–1)i + kMki/detA, gdzie Mki oznacza minor otrzymany po skreśleniu w macierzy A k-tego wiersza i i-tej kolumny, nazywa się macierzą odwrotną do A i oznacza symbolem A–1 (AA–1 = A–1A = I). Jeżeli elementy aik macierzy A są liczbami zespolonymi, to macierz Ā o elementach āik, sprzężonych względem elementów aik, nazywa się macierzą sprzężoną względem macierzy A; macierz jest symetryczna — gdy AT = A, ortogonalna — gdy AT = A–1, hermitowska — gdy AT = Ā, unitarna — gdy ĀT = A–1. Dwie macierze kwadratowe A i B tego samego stopnia nazywają się równoważnymi (lub podobnymi) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz kwadratowa nieosobliwa T, taka że A = T–1BT.
Ważnym (ze względu na zastosowania) problemem teorii macierzy jest zagadnienie sprowadzania danej macierzy kwadratowej A do postaci kanonicznej, np. do postaci diagonalnej. W tym celu rozwiązuje się równanie charakterystyczne:
Jeżeli to równanie ma n różnych pierwiastków λ1, λ2, ... , λn, to dana macierz A jest równoważna macierzy:
Elementy aik macierzy A można interpretować jako współczynniki przekształcenia liniowego:
y1 = a11 x1 + a12x2 + ... + a1nxn
....................................................
ym = am1x1 + am2x2 + ... + amnxn.
Wówczas macierz A = [aik] nazywa się macierzą tego przekształcenia. Zatem można to przekształcenie zapisać krótko w postaci macierzowej: y = AxT, gdzie x i y oznaczają macierze jednokolumnowe [x1, ... , xn] i [y1, ... , ym].
Macierze są wszechstronnie stosowanym narzędziem matematyki: opisują układy równań liniowych, algebraicznych i różniczkowych, przekształcenia liniowe, stożkowe i kwadryki, mają zastosowania w analizie matematycznej i geometrii różniczkowej, odgrywają zasadniczą rolę w algebrze nieprzemiennej itd. Powstanie pojęcia macierzy, jak też początki rachunku macierzowego przypadają na połowę XIX w. (prace A. Cayleya i E. Laguerre’a). Podstawy teorii macierzy jako dyscypliny algebraicznej stworzyli K. Weierstrass, C. Jordan i F.G. Frobenius w 2. połowie XIX w.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia