pierścień
 
Encyklopedia
pierścień,
mat. niepusty zbiór R, w którym określono 2 działania, przyporządkowujące każdej parze (a, b) elementów z R jeden element z R: dodawanie (a, b) a+b i mnożenie (a, b) ab; działania te muszą spełniać następujące aksjomaty: 1) R jest grupą przemienną względem dodawania; 2) dla każdego a, b, cR zachodzi (a + b)c = ac + bc (prawostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania); 3) dla każdego a, b, cR zachodzi a(b + c) = ab + ac (lewostronna rozdzielność mnożenia względem dodawania).
elementy x + x, x + x + x,... oznacza się krótko 2x, 3x,...; jeśli dla każdej pary elementów pierścienia zachodzi relacja a · b = b · a, to taki pierścień nazywa się p. przemiennym; jeśli a · b elementów niezerowych jest równy elementowi zerowemu (a · b = 0), to elementy ab nazywają się dzielnikami zera; np. jeśli
, to — a więc ab są dzielnikami zera w pierścieniu macierzy stopnia 2; taki element j pierścienia, że j · x = x · j = x dla każdego elementu x, nazywa się elementem jednostkowym (krótko: jednością pierścienia); jeżeli w danym pierścieniu istnieje element jednostkowy, to jest on jedyny. Przykłady pierścieni: 1) zbiór liczb całkowitych ze zwyczajnym dodawaniem i mnożeniem; 2) zbiór wielomianów; 3) każde ciało liczbowe; 4) zbiór macierzy o zespolonych elementach; 5) zbiór funkcji ciągłych f, g, h, ... o wartościach zespolonych, określonych w przedziale [0; +∞) z działaniami (+) i (·) określonymi następująco: f = g + h, jeśli f (x) = g(x) + h(x) dla każdego x ≥ 0, f = g · h, jeśli ; pierścień ten nazywa się pierścieniem Mikusińskiego — nie ma on ani elementu jednostkowego, ani też dzielników zera.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia