Liouville’a twierdzenie

Liouville’a twierdzenie,

twierdzenie, wg którego objętość przestrzeni fazowej układu opisywanego równaniami Hamiltona pozostaje stała;

równanie wyrażające treść t.L. (równanie Liouville’a) ma postać: ∂f/∂t = Σ_i(∂f/∂p_i · ∂H/∂q_i − ∂f/∂q_i · ∂H/∂p_i) = −{f, H}, gdzie H — hamiltonian układu, f = f(p, q) — gęstość prawdopodobieństwa tego, że układ znajduje się w stanie (p, q), p — pędy kanoniczne, q — współrzędne kanoniczne układu, sumowanie przebiega po wszystkiech współrzędnych i pędach układu; {f, H} oznacza nawiasy Poissona. T.L. oznacza, iż obszar przestrzeni fazowej może w trakcie ewolucji czasowej zmieniać kształt, nie może jednak zmieniać objętości — zachowuje się on jak kropla cieczy nieściśliwej. Odpowiednikiem równania Liouville’a w mechanice kwantowej jest równanie spełniane przez macierz gęstości układu &rhocirc.x;: iℏ∂&rhocirc.x;/∂t = −[&rhocirc.x;, Ĥ], gdzie Ĥ — operator Hamiltona, ℏ = h/2π (h — stała Plancka), a [&rhocirc.x;, Ĥ] oznacza komutator. Równanie Liouville’a jest uogólnieniem równania Schrödingera na stany mieszane; jeśli &rhocirc.x; odpowiada stanowi czystemu, równanie Liouville’a jest równoważne równaniu Schrödingera. Stacjonarnym (niezależnym od czasu) rozwiązaniem równania Liouville’a może być dowolny hamiltonian, którego postać zależy od typu zastosowanego zespołu statystycznego.