Liouville’a twierdzenie
 
Encyklopedia PWN
Liouville’a twierdzenie,
twierdzenie, wg którego objętość przestrzeni fazowej układu opisywanego równaniami Hamiltona pozostaje stała;
równanie wyrażające treść t.L. (równanie Liouville’a) ma postać: ∂f/∂t = Σi(∂f/∂pi · ∂H/∂qi − ∂f/∂qi · ∂H/∂pi) = −{f, H}, gdzie H — hamiltonian układu, f = f(p, q) — gęstość prawdopodobieństwa tego, że układ znajduje się w stanie (p, q), p — pędy kanoniczne, q — współrzędne kanoniczne układu, sumowanie przebiega po wszystkiech współrzędnych i pędach układu; {f, H} oznacza nawiasy Poissona. T.L. oznacza, iż obszar przestrzeni fazowej może w trakcie ewolucji czasowej zmieniać kształt, nie może jednak zmieniać objętości — zachowuje się on jak kropla cieczy nieściśliwej. Odpowiednikiem równania Liouville’a w mechanice kwantowej jest równanie spełniane przez macierz gęstości układu &rhocirc.x;: &imath.x;&rhocirc.x;/∂t = −[&rhocirc.x;, Ĥ], gdzie Ĥoperator Hamiltona,  = h/2π (h — stała Plancka), a [&rhocirc.x;, Ĥ] oznacza komutator. Równanie Liouville’a jest uogólnieniem równania Schrödingera na stany mieszane; jeśli &rhocirc.x; odpowiada stanowi czystemu, równanie Liouville’a jest równoważne równaniu Schrödingera. Stacjonarnym (niezależnym od czasu) rozwiązaniem równania Liouville’a może być dowolny hamiltonian, którego postać zależy od typu zastosowanego zespołu statystycznego.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia