Gibbsa zespoły statystyczne
 
Encyklopedia PWN
Gibbsa zespoły statystyczne,
zbiór formalnie nieskończonej liczby kopii układu fiz. (o zdefiniowanym stanie makroskopowym), z których każda opisuje inny stan mikroskopowy układu (mikrostan);
każdy mikrostan jest reprezentowany przez punkt w 6N-wymiarowej przestrzeni fazowejQ(p, q), gdzie p jest zbiorem pędów N cząstek, a q — zbiorem położeń. Zespół definiuje się przez podanie funkcji rozkładuf(Q), interpretowanej jako gęstość prawdopodobieństwa rozkładu układów fiz. w przestrzeni fazowej. Funkcja rozkładu służy do wyliczania wielkości średnich używanych w klas. termodynamice (np. ciśnienie, temperatura, energia wewn.). Związek między z.s.G. a konkretnym układem makroskopowym zachodzi przez hipotezę ergodyczną (ergodyczność). Dla klas. układu N identycznych cząstek definiuje się prawdopodobieństwo znalezienia układu w chwili t w elemencie objętości fazowej dpdq w pobliżu punktu (p, q): dw = f(p, q, t)dpdqh−3N/N!, gdzie f(p, q, t) — funkcja rozkładu, h — stała Plancka; czynnik N! został wprowadzony przez J.W. Gibbsa w celu uwzględnienia klas. nierozróżnialności cząstek. Z równań Hamiltona (Hamiltona równania ruchu) wynika równanie Liouville’a (Liouville’a twierdzenie) będące równaniem ewolucji dla funkcji rozkładu. W mechanice kwantowej odpowiednikiem klas. równania Liouville’a jest kwantowe równanie von Neumanna opisujące ewolucję operatora statyst. (tzw. macierz gęstości).
Mikrokanoniczny zespół Gibbsa stosuje się do statyst. opisu zespołu zamkniętych i izolowanych od otoczenia układów o ustalonej energii; opiera się on na założeniu jednakowego prawdopodobieństwa dla każdego możliwego mikrostanu w zespole. Rozważając układy nieizolowane wymieniające z otoczeniem energię, można z mikrokanonicznego zespołu Gibbsa otrzymać kanoniczny zespół Gibbsa. Pozwala on na wyznaczenie fluktuacji makroskopowych, np. fluktuacja energii jest wyrażona jako kwadrat dyspersji energii σ(H): σ2(H) = <H2 > — <H > 2 = kT2CV = kBT2H/∂T, gdzie CV to pojemność cieplna układu (ciepło), <H > — średnia termodynamiczna energia, T — temperatura, kB — stała Boltzmanna. W podobny sposób (kwazitermodynamiczna metoda Einsteina) rozpatruje się fluktuacje lokalne dowolnych wielkości termodynamicznych. Uogólnienie kanonicznego zespołu Gibbsa na układy wymieniające z otoczeniem nie tylko energię, ale i cząstki (ewentualnie inne całki ruchu) prowadzi do wielkiego kanonicznego zespołu Gibbsa.
Zastosowanie kanonicznego rozkładu Gibbsa do idealnego gazu klas. prowadzi do bardziej szczegółowego rozkładu Boltzmanna–Maxwella. Zastosowanie wielkiego kanonicznego rozkładu Gibbsa do modelu kwantowego gazu doskonałego nieoddziałujących bozonów prowadzi do rozkładu Bosego–Einsteina; znajduje on zastosowanie przy opisie nadciekłości (Bosego–Einsteina kondensacja), nadprzewodnictwa, czystego pola promieniowania, czyli gazu fotonowego (wyprowadzenie wzoru Plancka dla gęstości energii pola promieniowania, praw Stefana–Boltzmanna i prawa Wiena), przy wyznaczaniu fononowego ciepła właściwego ciał stałych (np. w tzw. modelu Debye’a). Zastosowanie wielkiego kanonicznego rozkładu Gibbsa do modelu gazu doskonałego nieoddziałujących fermionów daje rozkład Fermiego–Diraca; znajduje on zastosowanie np. przy opisie elektronów przewodnictwa w metalach oraz w astrofizyce (modelowanie białych karłów). G.z.s. zostały wprowadzone przez J.W. Gibbsa 1902.
Krzysztof Rościszewski
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia