układy dynamiczne
 
Encyklopedia
układy dynamiczne,
mat. początkowo — układy równań różniczkowych opisujących ruch zgodnie z dynamiką newtonowską.
najczęściej jest opisany wektorowym równaniem różniczkowym (tj. układem równań różniczkowych zwyczajnych) du/dt = f(u), gdzie u(t) = (u1(t), u2(t),... , un(t)) jest badanym wektorem funkcji zmiennej liczbowej (czasu), zw. wektorem fazowym, f = (f1,... , fn) — znaną funkcją wektorową argumentu wektorowego (zmiennych fazowych, przebiegających przestrzeń fazową. Np. układ dynamiczny opisany układem równań: du1/dt = u2, du2/dt = –sin u1, z przestrzenią fazową ℝ2, wektorem fazowym u = (u1, u2), f(u1, u2) = (u2, –sin u1), jest modelem wahadła matematycznego. Przy założeniu, że całki równania du/dt = f(u) są określone dla wszystkich wartości t ∈ ℝ można równanie to interpretować jako opis rodziny przekształceń (Φt)t ∈ ℝ przeprowadzającej punkt u0 (po upływie czasu t) na punkt u(t) = Φtu0, u(0) = u0; rodzina ta jest zwykle jednoparametrową grupą przekształceń, tzn. spełnia warunki: Φ0 = I (przekształcenie tożsamościowe),
Krzywą tΦtu0 nazywa się trajektorią punktu u0; rodzina wszystkich trajektorii obrazuje ewolucję całego układu. Teoria układu dynamicznego stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania praktyczne przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w automatyce.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia