układy dynamiczne

układy dynamiczne,

mat. początkowo — układy równań różniczkowych opisujących ruch zgodnie z dynamiką newtonowską.

najczęściej jest opisany wektorowym równaniem różniczkowym (tj. układem równań różniczkowych zwyczajnych) du/dt = f(u), gdzie u(t) = (u₁(t), u₂(t),... , u_n(t)) jest badanym wektorem funkcji zmiennej liczbowej (czasu), zw. wektorem fazowym, f = (f₁,... , f_n) — znaną funkcją wektorową argumentu wektorowego (zmiennych fazowych, przebiegających przestrzeń fazową. Np. układ dynamiczny opisany układem równań: du₁/dt = u₂, du₂/dt = –sin u₁, z przestrzenią fazową ℝ², wektorem fazowym u = (u₁, u₂), f(u₁, u₂) = (u₂, –sin u₁), jest modelem wahadła matematycznego. Przy założeniu, że całki równania du/dt = f(u) są określone dla wszystkich wartości t ∈ ℝ można równanie to interpretować jako opis rodziny przekształceń (Φ_t)_t ∈ ℝ przeprowadzającej punkt u₀ (po upływie czasu t) na punkt u(t) = Φ_tu₀, u(0) = u₀; rodzina ta jest zwykle jednoparametrową grupą przekształceń, tzn. spełnia warunki: Φ₀ = I (przekształcenie tożsamościowe),

Krzywą t → Φ_tu₀ nazywa się trajektorią punktu u₀; rodzina wszystkich trajektorii obrazuje ewolucję całego układu. Teoria układu dynamicznego stanowi ważny dział matematyki znajdujący liczne zastosowania praktyczne przy opisie rozmaitych konkretnych zjawisk, m.in. w automatyce.