Poincarégo twierdzenie (lemat) o powracaniu

Poincarégo twierdzenie (lemat) o powracaniu,

mat. jedno z gł. twierdzeń teorii układów dynamicznych mających miarę niezmienniczą, opisujące własność ruchu prawie każdego punktu takiego układu: trajektoria typowego punktu wraca nieskończenie wiele razy do dowolnie małego otoczenia punktu startowego.

Dokładniej, jeśli (X, T) jest układem dynamicznym, w którym T zachowuje miarę unormowaną μ, natomiast A ⊂ X jest dowolnym zbiorem o dodatniej mierze, to te punkty x ∈ A, które nie powracają do A (tj. spełniają Tⁿ(x) ∉ A dla n = 1, 2, ...), stanowią podzbiór miary zero. E. Zermelo wskazał następujący paradoks (pozorny, jak się okazało), wynikający z tego lematu: jeśli stłoczyć cząsteczki gazu w połowie naczynia, pozostawiając w drugiej połowie próżnię, po czym usunąć rozdzielającą obie połowy przegrodę, to po pewnym czasie rozprężony gaz powinien samoistnie powrócić do stanu początkowego, czyli powinien zgromadzić się w pierwszej połowie, gdyż potok fazowy wielocząsteczkowego bilardu (bilard matematyczny), jakim jest gaz, zachowuje w przestrzeni fazowej miarę Lebesgue’a. Wyjaśniając „paradoks”, L.E. Boltzmann oszacował, że dla 1 mola gazu czas na to potrzebny to liczba dużo wyższego rzędu wielkości niż czas istnienia Wszechświata.