potok,
mat. termin teorii układów dynamicznych, spotykany także w zagadnieniach wywodzących się z teorii równań różniczkowych zwyczajnych, mechaniki, geometrii różniczkowej i in.
potok
Encyklopedia PWN
W najszerszym sensie p. to układ dynamiczny z przestrzenią fazową χ i rodziną (φt)t∈T odwzorowań tej przestrzeni w samą siebie, indeksowaną elementami grupy (ewentualnie półgrupy) T; odwzorowania te zachowują istniejącą w przestrzeni fazowej strukturę (np. miarę) oraz spełniają zależności φ0(x) = x, φt + s(x) = φt(φs(x)). W zastosowaniach χ to najczęściej przestrzeń metryczna lub gładka rozmaitość różniczkowa, a φ t to odwzorowanie ciągłe (lub różniczkowalne), natomiast T to wszystkie liczby rzeczywiste, ewentualnie półgrupa liczb rzeczywistych nieujemnych z elementem neutralnym 0; stąd indeksy t nazywa się czasem, a zależność x
φt(x) — ruchem punktu x. P., w których zbiór T stanowią liczby całkowite (ewentualnie naturalne), noszą nazwę kaskad. Przykładem p. z przestrzenią fazową χ = ℝn jest ciągła grupa przekształceń liniowych, tzn. takich, że φt = At, przy czym dla każdego t ∈ ℝ odwzorowanie At: ℝn → ℝn jest liniowe oraz
; istnieje wówczas jedno przekształcenie liniowe L: ℝn → ℝn, takie że wszystkie przekształcenia At w tym potoku są postaci At = etL.
![](https://mm.pwn.pl/emf/wdo0738.gif)
![](https://mm.pwn.pl/emf/wcz0014.gif)
P. na rozmaitościach różniczkowych są powiązane z polami wektorowymi. Gdy χ jest rozmaitością różniczkową (np. gładką rozmaitością bez brzegu, jak sfera czy torus), a (φt)t∈ℝ — p. dyfeomorfizmów tej rozmaitości, to taki p. określa na rozmaitości pole wektorowe V zadane wzorem V(x) =
φt(x); na odwrót, na zwartej rozmaitości pole wektorowe (lub odpowiadające mu równanie różniczkowe zwyczajne
x(t) = v(x)) zadaje p. W mechanice dla układu, którego ewolucja jest opisana równaniem różniczkowym Lagrange’a (Lagrange’a równania ruchu), generowanie p. przez równanie różniczkowe prowadzi (przy odpowiednim wyborze zmiennej czasowej) do pojęcia p. geodezyjnego.
![](https://mm.pwn.pl/emf/wcz0015.gif)
![](https://mm.pwn.pl/emf/wcz0015.gif)
Najważniejsze zagadnienia związane z analizowaniem własności p. to badanie istnienia orbit zamkniętych (okresowych) i zachowania się p. w otoczeniach takich orbit, a także analiza stabilności, tzn. badanie, czy zachowanie p. bliskich danemu podlega zmianom jakościowym przy niewielkich zaburzeniach. Z operacji różniczkowania p. w kierunku pola wektorowego wywodzi się ważne w geometrii różniczkowej pojęcie nawiasu Liego. Od zarania teorii układów dynamicznych p. były najczęściej i najintensywniej badanymi układami, stąd też samo pojęcie układu dynamicznego bywa również utożsamiane z pojęciem p.
Waldemar Pałuba