Lagrange’a równania ruchu

Lagrange’a równania ruchu,

fiz. równania różniczkowe opisujące ruch układu mech. swobodnego lub z więzami dwustronnymi (więzy);

R.r.L. pierwszego rodzaju są zapisane za pomocą współrz. prostokątnego układu współrz. i zawierają tzw. mnożniki Lagrange’a λ_k; dla układu n punktów materialnych o p więzach określonych funkcjami f_kj = f_kj(x₁, x₂, ... , x_3n, t) mają postać:

(j = 1, 2, ... , 3n),

(k = 1, 2, ... , p),

gdzie: m_j — masy, x_j — współrz. punktów materialnych, X_j — składowe sił czynnych działających na te punkty, t — czas. Rozwiązanie r.r.L. pozwala określić ruch układu oraz siły reakcji więzów odpowiadające w równaniach ruchu członom z mnożnikami Lagrange’a. R.r.L. drugiego rodzaju są zapisane we współrz. uogólnionych i dla układu z więzami holonomicznymi doskonałymi mają postać:

(i = 1, 2, ... , f),

przy czym: q_i, &qdot.x;_i = dq_i /dt — współrz. i prędkości uogólnione, T = T(q_i, &qdot.x;_i, t) — energia kinet., Q_i = Q_i (q_i, &qdot.x;_i, t) — siły uogólnione, f — liczba stopni swobody układu; gdy Q_i mają uogólnioną energię potencjalną U, równania ruchu Lagrange’a drugiego rodzaju przyjmują postać:

(i = 1, 2, ... , f),

gdzie L — funkcja Lagrange’a. Równania ruchu Lagrange’a są stosowane m.in. w teorii drgań i dynamice mechanizmów oraz maszyn; wprowadzone do mechaniki 1788 przez J.L. de Lagrange’a.