Lagrange’a–Eulera równania,
mat.równania różniczkowe, które muszą być spełnione przez funkcje nadające ekstrema funkcjonałom rachunku wariacyjnego.
Lagrange’a–Eulera równania
Encyklopedia PWN
W najprostszym przypadku każdej gładkiej krzywej y = y(x) łączącej na płaszczyźnie 2 dowolnie wybrane punkty A(x1, y1) i B(x2, y2) można przyporządkować liczbę 
, zw. funkcjonałem; krzywa y = y(x) nadająca temu funkcjonałowi wartość ekstremalną (tj. minim. lub maks.), zw. ekstremalą, musi spełniać r.L.-E.: 
; ostatnie równanie otrzymał 1744 L. Euler. Przykładowo dla funkcjonału 
wyrażającego długość krzywej łączącej punkty A i B, r.L.-E. przybiera postać y’’ = 0, skąd otrzymuje się dwuparametrową rodzinę prostych y(x) = ax + b (a, b — parametry) — jest to oczywiste, gdyż ze wszystkich krzywych łączących różne punkty najmniejszą długość ma odcinek AB. Gdy funkcjonał I zależy od wielu niewiadomych funkcji y1(x), y2(x), ... , yn(x), np. 
, wtedy r.L.-E. przybierają postać układu n równań różniczkowych 
(y = 1, ... , n). Przykładem r.L.-E. są w mechanice równania ruchu Lagrange’a.
, zw. funkcjonałem; krzywa y = y(x) nadająca temu funkcjonałowi wartość ekstremalną (tj. minim. lub maks.), zw. ekstremalą, musi spełniać r.L.-E.: ; ostatnie równanie otrzymał 1744 L. Euler. Przykładowo dla funkcjonału wyrażającego długość krzywej łączącej punkty A i B, r.L.-E. przybiera postać y’’ = 0, skąd otrzymuje się dwuparametrową rodzinę prostych y(x) = ax + b (a, b — parametry) — jest to oczywiste, gdyż ze wszystkich krzywych łączących różne punkty najmniejszą długość ma odcinek AB. Gdy funkcjonał I zależy od wielu niewiadomych funkcji y1(x), y2(x), ... , yn(x), np. , wtedy r.L.-E. przybierają postać układu n równań różniczkowych (y = 1, ... , n). Przykładem r.L.-E. są w mechanice równania ruchu Lagrange’a. 
