miara

miara, miara zbioru,

mat. jedno z pojęć teorii funkcji rzeczywistych uogólniające pojęcie długości odcinka, pola obszaru, objętości.

Ogólną definicję miary wprowadza się następująco: jeśli &Mgot.x; oznacza dowolne σ-ciało (σ-ciało zbiorów) podzbiorów dowolnej ustalonej przestrzeni X i jeśli μ jest funkcją rzeczywistą zbioru określoną na &Mgot.x;, nierówną tożsamościowo +∞ i taką, że: 1) 0 ≤ μ(A) ≤ +∞ dla każdego A ∈ &Mgot.x;, 2) dla każdego ciągu (A_n)_{n = 1, 2,...} podzbiorów rozłącznych ciała &Mgot.x;, to każdą taką funkcję rzeczywistą μ nazywa się miarą na σ-ciele &Mgot.x;, przy tym każdy podzbiór należący do &Mgot.x; nazywa się zbiorem mierzalnym (względem miary μ); jeśli miara μ przyjmuje wartości nie większe niż 1, to nazywa się ją miarą probabilistyczną. Do najwybitniejszych twórców teorii miary należą: C. Jordan, É. Borel, H. Lebesgue, A. Kołmogorow.

Szczególnie ważnym przykładem miary jest miara Lebesgue’a, której konstrukcja dla zbiorów liczbowych jest następująca. Jeśli ℝ¹ oznacza przestrzeń liczb rzeczywistych, to miarą przedziału otwartego (a, b) lub domkniętego [a, b] nazywa się liczbę b − a (długość przedziału); zbiór pusty uważa się za przedział otwarty i przypisuje mu się miarę zero; miarę przedziału J oznacza się symbolem |J|; ponieważ dowolny zbiór otwarty G można przedstawić w postaci sumy: , gdzie J_i ∩ J_j = ∅ dla i ≠ j i gdzie J_i, J_j — przedziały otwarte, to jako miarę zbioru otwartego G przyjmuje się liczbę , jeśli szereg ten jest zbieżny; w przeciwnym przypadku przyjmuje się, że zbiór G ma miarę nieskończoną: |G| = +∞. Zbiór A ⊂ ℝ¹ nazywa się zbiorem mierzalnym, jeżeli dla każdego ε > 0 istnieją zbiory otwarte G i U, takie że A ⊂ G, G \ A ⊂ U i |U| < ε; miarę |A| zbioru mierzalnego A definiuje się jako kres dolny miary nadzbiorów otwartych zbioru A: |A| = inf {|G|: A ⊂ G, G — zbiór otwarty}. Z definicji tej wynika, że zbiorami mierzalnymi są: 1) każdy zbiór otwarty; 2) suma skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów mierzalnych, przy czym (równość zachodzi wtedy, gdy zbiory A_n są parami rozłączne); 3) dopełnienie A^c zbioru mierzalnego A; 4) każdy zbiór domknięty (jako dopełnienie zbioru otwartego); 5) każdy zbiór jednopunktowy (także ma miarę zero); 6) każdy zbiór przeliczalny (ma też miarę zero), np. zbiór wszystkich liczb wymiernych; 7) każdy podzbiór zbioru miar zero również ma miarę zero. Dowodzi się, że istnieją zbiory niemierzalne, ale dowody te nie podają sposobu konstrukcji takich zbiorów; konstruując jakiś podzbiór przestrzeni ℝ¹, praktycznie można mieć pewność, że będzie to zbiór mierzalny; klasa &Mgot.x; zbiorów mierzalnych w ℝ¹ jest σ-ciałem podzbiorów przestrzeni ℝ¹.