fraktal
 
Encyklopedia
fraktal
[łac. fractus ‘złamany’, ‘cząstkowy’],
mat. rodzaj figury geometrycznej, płaskiej lub przestrzennej, zazwyczaj charakteryzującej się własnością samopodobieństwa — małe fragmenty fraktala, oglądane w odpowiednim powiększeniu, wyglądają tak samo jak obiekt pierwotny.
Charakteryzuje ją swoista regularność w nieregularności — stopień tej regularności jest określony liczbą niecałkowitą (wymiar fraktalny). Fraktale mają swoje pierwowzory w świecie fizycznym; są nimi krzywe i powierzchnie ilustrujące wszelkie przypadkowe nieregularności: ruchy Browna, wahania cen giełdowych, różnorodne kształty płatków śniegu, zakręty linii brzegowych i in.; do badań matematycznych wprowadził je 1975 B. Mandelbrot.
Jednym z pierwszych fraktali, które pojawiły się w rozważaniach matematycznych przed wprowadzeniem tego pojęcia był dywan Sierpińskiego (ok. 1920). Powstaje on w nieskończonym procesie kolejnych podziałów kwadratu na coraz to mniejsze i usuwania wybranych kwadratów. Innym przykładem dawno znanego fraktala (1904) jest śnieżynka Kocha: do boków trójkąta dokleja się 3 trójkąty mniejsze, np. zmniejszone w skali 1 : 3, do otrzymanej gwiazdy sześcioramiennej — 12 trójkątów zmniejszonych w skali 1 : 9 itd.; figura powstająca przez wykonanie tej konstrukcji nieskończenie wiele razy jest właśnie śnieżynką Kocha; jej brzeg ma długość nieskończoną, choć otacza skończone pole. Śnieżynka Kocha jest jednym z najprostszych matematycznych modeli pełnej linii brzegowej, np. oddzielającej morze od lądu.
W matematycznej definicji fraktala korzysta się z pojęcia niecałkowitego wymiaru, do którego można dojść w następujący sposób. Wzory na pole koła S = πr2 i objętość kuli S = 4πr3/3 uogólnia się na dowolne wymiary d (też niecałkowite): S = [(Γ(1/2))d/Γ(1+d/2)]rd, gdzie funkcja Γ jest pewnym uogólnieniem pojęcia silni (funkcje Eulera (2)). Krzywą C pokrywa się skończoną liczbą kół o promieniach ri i oblicza sumę ich miar d-wymiarowych. Twierdzenie Besicovitcha mówi, że dla wszystkich d mniejszych od pewnego D ta suma jest nieskończona, a powyżej tego D jest zerem. Liczba D jest wymiarem Hausdorffa–Besicovitcha krzywej C. Jest on zawsze większy niż „zwykły” wymiar figury. Śnieżynka Kocha ma np. wymiar ln 4/ln 3 = 1,261 859 507...
Fraktale trafiły do matematyki z nauk przyrodniczych i technicznych, a badane zaawansowanymi metodami współczesnej matematyki znów znajdują zastosowanie do opisu zjawisk przyrody i techniki, np. turbulencji i chaosu; dzięki komputerom można je efektywnie badać, a w grafice komputerowej mają zastosowanie przy tworzeniu obrazów.
Bibliografia
J. Kudrewicz Fraktale i chaos, Warszawa 1993;
H.-O. Peitgen, H. Jürgens, D. Saupe Granice chaosu: fraktale, t. 1–2, wyd. 3—2, Warszawa 2002;
B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, New York 1982.
Ilustracje
Kocha krzywa wyk. LogoScript/Archiwum Ilustracji WN PWN SA © Wydawnictwo Naukowe PWN
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia