krzywa

krzywa, linia,

mat. pojęcie, którego precyzyjne, jednoznaczne określenie jest bardzo trudne (określa się je różnie w różnych dziedzinach matematyki).

Euklides określał krzywą jako długość bez szerokości albo ograniczenie powierzchni; Apoloniusz z Pergi opracował szczegółowo teorię elipsy, hiperboli i paraboli (stożkowa); znana była spirala Archimedesa. Dopiero na przełomie XVI i XVII w. R. Descartes określił krzywą za pomocą stworzonej przez siebie metody współrzędnych, pozwalającej układać równania rozmaitych krzywych, np. okręgu x² + y² = r², linii prostej ax + by + c = 0 itp.; ogólnie: zbiór punktów P(x, y) płaszczyzny, których współrzędne x, y spełniają równanie F(x, y) = 0, wyznacza według Descartes’a krzywą. Definicja krzywej podana przez niego obejmuje wszystkie tzw. krzywe algebraiczne, których badaniem zajmuje się obecnie geometria algebraiczna. Krzywą, rozumianą jako tor poruszającego się punktu, przedstawiano za pomocą równań parametrycznych x = φ(t), y = ψ(t), gdzie parametr t odgrywał zwykle rolę zmiennej czasowej. Analogicznie definiowano krzywą w przestrzeni. Narzucając na funkcje φ i ψ dodatkowe warunki (np. ciągłość lub gładkość) otrzymywano rozmaite klasy krzywych W 2. połowie XIX w. ogólne określenie krzywej płaskiej sformułował C. Jordan: krzywą płaską (krzywa Jordana) nazywa się zbiór P(x, y) punktów płaszczyzny, których współrzędne x = φ(t), y = ψ(t) są funkcjami ciągłymi parametru t, określonymi w przedziale wartości 0 ≤ t ≤ 1. Okazało się jednak, że określenie to jest zbyt ogólne; 1890 G. Peano wykazał, że można tak dobrać funkcje φ i ψ, że zbiór punktów P(x, y) wypełni cały kwadrat wliczając punkty wewnętrzne i brzegowe; krzywa taka otrzymała nazwę krzywej Peano. Ta niezadowalająca sytuacja doprowadziła do powstania nowej definicji krzywej, opartej na pojęciu łuku i krzywej zamkniętej zwyczajnej: krzywa to dowolny zbiór punktów dający się rozłożyć na skończoną liczbę łuków, z których żadne 2 nie mają innych punktów wspólnych prócz końców. Ostatnia definicja obejmuje stosunkowo szeroką klasę krzywych, istnieją jednak krzywe, których taka definicja nie obejmuje, np. krzywa o równaniu y = sin (2π/x), 0 < x ≤1, z dołączonym do niej odcinkiem osi rzędnych x = 0, –1 ≤ y ≤+1. Pod koniec XIX w. G. Cantor podał bardzo ogólne określenie krzywej płaskiej, oparte na stworzonym przez siebie pojęciu teoriomnogościowym: krzywa płaska to takie continuum punktów płaszczyzny, że dowolnie blisko każdego jego punktu znajduje się punkt płaszczyzny nie należący do tego continuum. Nie każdą tak zdefiniowaną krzywą można zapisać za pomocą równań parametrycznych. W latach 20. XX w. P.S. Uryson podał ogólną definicję krzywej: krzywa to continuum o wymiarze 1, tj. takie continuum, że każdy jego punkt ma dowolnie małe otoczenie, którego ograniczenie nie zawiera żadnego continuum złożonego z więcej niż jednego punktu. Jest to istotne uogólnienie wcześniejszych definicji, dające się przenieść na każdą przestrzeń metryczną.