atraktor

atraktor

[łac. attrahere ‘przyciągać’],

mat. punkt lub zbiór, który w trakcie pewnego procesu „przyciąga” punkty leżące w jego otoczeniu;

pojęcie to należy zasadniczo do teorii układów dynamicznych (szerzej — do topologii), ale znajduje zastosowanie niemal we wszystkich gałęziach matematyki, a także w wielu jej zastosowaniach — wszędzie tam, gdzie rozważa się modele zjawisk zmiennych w czasie. Przykładowo atraktorem dla ciał fiz. poruszających się w polu grawitacyjnym jest np. powierzchnia planety. Proces opisany pętlą: x₀ = 1, x_n + 1 = cos(x_n); daje wartości x zagęszczające się wokół pierwiastka równania cos x = x; liczba ta jest więc atraktorem dla powyższej pętli programowej (metoda taka pozwala niekiedy rozwiązywać równania niepoddające się metodom klas.). Innym przykładem atraktoru może być zbiór dwuelementowy {1, 2} dla pętli:

Zachodzi to dla dowolnego wyjściowego n₀ ≤ 2⁵⁰ (nie istnieje dowód, że jest tak dla dowolnego n₀).

W biologii teoret. przyjmuje się często uproszczony model rozwoju populacji: x_nast = rx(1–x), gdzie x oznacza rozmiar danej populacji — mierzony w procentach względem teoret. największej liczby osobników mogących się zmieścić na danym obszarze — w kolejnych latach, zaś r jest współczynnikiem proporcjonalności. W zależności od wartości tego parametru populacja osiąga po kilku latach równowagę (atraktor jednopunktowy), wchodzi w cykliczne wahania (atraktor kilkupunktowy) albo zachowuje się chaotycznie, dążąc do tzw. dziwnego atraktora — bardzo skomplikowanej figury, najczęściej o ułamkowym wymiarze (fraktal). Matematyczne badania dziwnych atraktorów stanowią postęp np. w teoret. badaniu turbulencji — tzn. burzliwego przepływu cieczy i gazów; mogą również wyjaśnić wiele pozornie chaotycznie zachodzących procesów techn. i zjawisk chem., biochem., socjol. i ekologicznych.