krat teoria
 
Encyklopedia PWN
krat teoria,
mat. dział matematyki poświęcony badaniu krat i ich zastosowań, przede wszystkim w logice i algebrze;
zbiory takie nazywa się kratami. Można równoważnie zdefiniować kratę jako zbiór z 2 działaniami dwuargumentowymi (oznaczanymi zazwyczaj symbolami ∨ i ∧), przemiennymi i łącznymi, spełniającymi ponadto tzw. prawa pochłaniania: a∨(ab) = aa∧(ab) = a; podane własności działań pozwalają określić w zbiorze relację porządku, ze względu na którą ab jest kresem górnym, a ab kresem dolnym elementów ab. Kratą jest np. zbiór wszystkich liczb naturalnych z relacją podzielności (n dzieli m), gdzie kresem górnym liczb ab jest NWW(a, b) (wielokrotność), kresem dolnym zaś NWD(a, b) (dzielnik liczby naturalnej), zbiór wszystkich podzbiorów danego zbioru z relacją zawierania (kresem górnym jest suma zbiorów, kresem dolnym — ich część wspólna), a także każdy zbiór z relacją liniowego porządku. Pierwsze obserwacje o kratach znalazły się w pracach G. Boole’a (poł. XIX w.) i R. Dedekinda (który wyodrębnił tę strukturę na przeł. XIX i XX w.); systematyczną teorię krat stworzył G. Birkhoff (lata 30. XX w.). Częste występowanie krat w innych dziedzinach matematyki powoduje, że teoria krat znajduje w nich zastosowania: przede wszystkim w algebrze ogólnej (np. kraty podalgebr, kraty kongruencji), ale również w logice (np. kraty klas formuł równoważnych), w topologii (np. kraty zbiorów domkniętych), w analizie mat. (np. kraty funkcji ciągłych), w geometrii (kraty geom.).
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia