przestrzeń unitarna

przestrzeń unitarna,

mat.:

1) unitarna przestrzeń nad ciałem liczb rzeczywistych ℝ jest to liniowa przestrzeń V nad ciałem liczb rzeczywistych ℝ, w której każdej parze wektorów α, β ∈ V jest przyporządkowana liczba rzeczywista α · β (zw. iloczynem skalarnym wektorów α i β) w taki sposób, że są spełnione następujące aksjomaty:
(1) α · β = β · α,
(2) α · (β  + γ) = α · β + α · γ,
(3) (r · α) · β = r · (α · β),
(4) α · α > 0 jeśli α ≠ 0,
gdzie α, β, γ są dowolnymi wektorami z V, a r jest dowolną liczbą rzeczywistą; np. unitarnymi przestrzeniami nad ciałem liczb rzeczywistych są: kartezjańska przestrzeń m-wymiarowa ℝ^m z iloczynem skalarnym każdej pary punktów x = (x₁, ... , x_m) i y = (y₁, ... , y_m) określonym wzorem oraz przestrzeń L² funkcji całkowalnych z kwadratem z przyjętym iloczynem skalarnym dla f, g ∈ L².

2) unitarna przestrzeń nad ciałem liczb zespolonych jest to (analogicznie jak w znaczeniu 1) liniowa przestrzeń V nad ciałem liczb zespolonych , w której każdej parze wektorów α, β ∈ V jest przyporządkowana liczba zespolona α · β (iloczyn skalarny tych wektorów) spełniająca aksjomaty:
(1′) α · β =  ( oznacza liczbę sprzężoną z liczbą zespoloną c),
(2)–(4) ze znaczenia 1), gdzie α, β, γ są dowolnymi wektorami z V, a r dowolną liczbą zespoloną. Oprócz symbolu α · β na oznaczanie iloczynu skalarnego wektorów α i β należących do przestrzeni unitarnej stosuje się również symbole (α, β), (α/β) lub 〈α, β〉.