topologia
 
Encyklopedia PWN
topologia
[gr. tópos ‘miejsce’, ‘okolica’, lógos ‘słowo’, ‘nauka’],
mat.:
1) dział matematyki dotyczący takich przestrzeni, pomiędzy którymi można określić przekształcenia ciągłe, zajmujący się badaniem tzw. niezmienników topologicznych czyli własności przestrzeni zachowujących się przy homeomorfizmach, tzn. przy przekształceniach ciągłych, mających przekształcenia odwrotne, które też są ciągłe; homeomorfizm polega na wyginaniu, rozciąganiu lub skurczaniu przestrzeni, ale bez zlepiania (co naruszałoby różnowartościowość przekształcenia) i bez rozrywania (co naruszałoby jego ciągłość). Jeśli istnieje homeomorfizm przekształcający jedną przestrzeń na drugą, to są one homeomorficzne, nierozróżnialne topologicznie; np. koło i trójkąt (koło wykonane z gumy możemy tak rozciągnąć, trzymając za trzy punkty jego brzegu, by powstał trójkąt, jeśli jednak koło, czyli przestrzeń spójną, rozerwiemy na 2 kawałki, to powstanie przestrzeń niespójna, topologicznie różna od wyjściowej). Takie pojęcia geometryczne jak: długość, pole, równoległość, prostopadłość nie są własnościami topologicznymi, np. możemy odcinek rozciągnąć zmieniając jego długość; natomiast pojęciem topologicznym jest wymiar, nie da się rozszerzyć odcinka (przestrzeń 1-wymiarowa) tak, by powstał prostokąt (przestrzeń 2-wymiarowa). Ważnym niezmiennikiem topologicznym jest zwartość (przestrzeń zwarta), ale nie jest nim zupełność (przestrzeń zupełna); odcinek bez końców (przestrzeń niezwarta i niezupełna) nie jest homeomorficzny z odcinkiem z końcami (przestrzeń zwarta), ale za to jest homeomorficzny z prostą (przestrzeń zupełna).
Topologia wyrosła z geometrii i może być traktowana jako daleko idące uogólnienie geometrii, a mianowicie można uważać ją za geometrię grupy homeomorfizmów, jednakże w swoim rozwoju topologia odbiega od wyjściowych intuicji geometrycznych i mnogościowych (dawniej topologia była nazywana teorią mnogości punktowych lub analizą umiejscowienia, łac. analisis situs), wkraczając w zakres wielu rozległych dyscyplin matematycznych oraz stając się bogatą w pojęcia i wyniki gałęzią nowoczesnej matematyki. Rozwój topologii zaczął się w ostatnim ćwierćwieczu XIX w. od prac G. Cantora i H. Poincarégo, chociaż już wcześniej zajmowano się pewnymi zagadnieniami, które można zaliczyć do topologii; sporadycznie termin topologia występował już u niemieckiego matematyka i fizyka J.B. Listinga (1847).
Podstawowym pojęciem topologii jest przestrzeń topologiczna ; badaniem tych przestrzeni zajmuje się topologia ogólna; węższą klasą przestrzeni zajmuje się topologia geometryczna, badająca przestrzenie metryczne (w szczególności euklidesowe), posługująca się pojęciami geometrycznymi (np. kula, sympleks), mająca ważne zastosowanie m.in. w: teorii miary, teorii prawdopodobieństwa, teorii równań różniczkowych, teorii grafów, teorii układów dynamicznych; w topologii algebraicznej do badania przestrzeni topologicznych stosuje się pewne pojęcia i metody zaczerpnięte z algebry, np. przestrzeniom topologicznym przyporządkowuje się grupy a topologiczne własności przestrzeni bada przez zachowanie się tych grup; topologia algebraiczna dotycząca wielościanów leżących w przestrzeniach euklidesowych nosi nazwę topologii kombinatorycznej; ważnymi działami topologii algebraicznej są: teoria homologii i teoria homotopii ; topologia algebraiczna znalazła zastosowanie w wielu działach matematyki, jak geometria różniczkowa i geometria algebraiczna, a także zapoczątkowała nowe dyscypliny matematyczne, jak teoria przestrzeni włóknistych (mająca zastosowanie m.in. w rachunku wariacyjnym), czy algebra homologiczna; topologia różniczkowa posługuje się w swoich badaniach metodami z pogranicza topologii algebraicznej i geometrii różniczkowej.
Do rozwoju topologii w dużej mierze przyczynili się polscy matematycy, m.in.: K. Borsuk, W. Hurewicz, Z. Janiszewski, B. Knaster, K. Kuratowski, S. Mazurkiewicz, W. Sierpiński. Począwszy od okresu międzywojennego topologia osiągnęła wysoki stopień rozwoju, stała się nieodzowną dla wielu działów matematyki, takich jak: analiza funkcjonalna, geometria różniczkowa, teoria równań różniczkowych, rachunek wariacyjny i in.; topologia coraz częściej znajduje zastosowanie w technice i naukach na pozór od matematyki odległych.
2) W przestrzeni topologicznej rodzina wszystkich zbiorów otwartych.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia