homotopii teoria

homotopii teoria,

mat. dział topologii algebraicznej poświęcony badaniu przestrzeni topologicznych i przekształceń między nimi: przez rozpatrywanie klas homotopii przekształceń (przekształcenia homotopijne), przez przyporządkowanie przestrzeniom pewnych systemów algebraicznych, np. grup homotopii, oraz przyporządkowanie przekształceniom homomorfizmów tych systemów.

Podstawowym pojęciem teorii homotopii jest homotopia przekształceń ciągłych: przekształcenia f i g (obydwa z przestrzeni X do przestrzeni Y) są homotopijne, jeśli dla parametrów t z przedziału [0;1] istnieją ciągłe przekształcenia f_t z X do Y, będące stopniowym, ciągłym przejściem od f = f₀ do g = f₁. Jeśli np. Y jest pierścieniem kołowym, X okręgiem stanowiącym zewn. część brzegu Y, to przekształcenie f „nie ruszające” punktów okręgu X daje się stopniowo zdeformować (nie wychodząc poza Y) do przekształcenia g o wartościach w wewn. części brzegu Y — takie f i g są homotopijne; natomiast f nie jest homotopijne z przekształceniem przeprowadzającym cały okrąg X w jeden punkt należący do Y (nie da się ściągnąć w Y do punktu). Przekształcenia homotopijne uważa się za równoważne i łączy się je w klasy; teoria homotopii zajmuje się badaniem przestrzeni topologicznych i przekształceń między nimi właśnie poprzez rozpatrywanie klas homotopii przekształceń. Teorię homotopii zapoczątkowały prace H. Poincarégo; grupy homotopii wprowadził W. Hurewicz. W 2. poł. XX w. teoria homotopii bardzo się rozwinęła, znajdując jednocześnie coraz szersze zastosowania w różnych działach matematyki, zwłaszcza w geometrii różniczkowej.