homologii teoria
 
Encyklopedia PWN
homologii teoria,
mat. podstawowy dział topologii algebraicznej zajmujący się badaniem przestrzeni topologicznych za pomocą przyporządkowanych im systemów algebraicznych, spośród których najważniejsze są grupy homologii.
Przekształceniom ciągłym przestrzeni są przyporządkowane homomorfizmy systemów odpowiadających tym przestrzeniom, przestrzeniom homeomorficznym — izomorficzne systemy. Dzięki temu badania topolog. zastępuje się łatwiejszymi na ogół badaniami algebraicznymi. Teorię homologii zapoczątkowały prace H. Poincarégo (1895), który zajmował się nią badając rozmaitości różniczkowe, a powierzchnie w szczególności. Podstawowe własności danej powierzchni można badać zastępując ją przez homeomorficzną z nią, prostszą w budowie, przestrzeń odpowiedniego kompleksu symplicjalnego, a następnie rozpatrując skończone układy sympleksów ustalonego wymiaru — tzw. łańcuchy i cykle, wprowadzając ich dodawanie i określając, które cykle są równoważne (homologiczne). Na przykład cyklom jednowymiarowym na powierzchni odpowiadają krzywe zamknięte, a cyklom homologicznym — krzywe wspólnie ograniczające „kawałek” powierzchni, jak np. 2 okręgi stanowiące brzeg pierścienia płaskiego. Jeśli jakiś cykl sam coś ogranicza, np. okrąg — tarczę koła, to mówi się, że jest on homologiczny zeru. Wszystkie cykle homologiczne zeru uważa się za równoważne i łączy w jedną klasę, zw. klasą zerową. Podobnie wszystkie cykle homologiczne z danym cyklem łączy się w jedną klasę; tak powstałe klasy można dodawać podobnie jak cykle, dzięki czemu tworzą one grupę, zw. jednowymiarową grupą homologii badanej powierzchni. Grupy homologii odzwierciedlają wiele, choć bynajmniej nie wszystkie własności badanej przestrzeni. Ponieważ jednak dają się stosunkowo łatwo obliczać i porównywać, stanowią jedno z najskuteczniejszych narzędzi badawczych w topologii i mają liczne zastosowania w różnych działach matematyki, jak: geometria różniczkowa, geometria algebraiczna, analiza. Rozbudowany obecnie aparat algebraiczny teorii homologii wyodrębnił się w postaci nowego działu — algebry homologicznej.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia