geometrie Riemanna

geometrie Riemanna, geometrie riemannowskie,

wielowymiarowe uogólnienia klas. geometrii różniczkowej na dwuwymiarowych powierzchniach (zapoczątkowanej przez C.F. Gaussa), właśc. teoria przestrzeni Riemanna, stworzona 1854 przez B. Riemanna.

W geometrii Riemanna rozważa się n-wymiarową przestrzeń abstrakcyjną, której punkty są oznaczone symbolem (x¹,... , xⁿ), i wprowadza się w niej z definicji odległość ds między nieskończenie bliskimi punktami P(xⁱ) i Q(xⁱ + dxⁱ), zw. różniczką łuku krzywej xⁱ = xⁱ(t) łączącej te punkty, wzorem:

,

gdzie g_kl(x¹, ... , xⁿ) są funkcjami ciągłymi i różniczkowalnymi (ich zespół tworzy tzw. tensor metryczny dwukrotnie kowariantny, zw. krótko tensorem metrycznym); jeśli forma metryczna

nie jest dodatnio określona (forma), to g_kl nazywa się tensorem pseudometrycznym, a przestrzeń Riemanna z taką pseudometryką (możliwość urojonych odległości) — przestrzenią pseudoriemannowską; przykładem tej ostatniej jest czterowymiarowa przestrzeń Minkowskiego z następującą formą pseudometryczną: ds² = c²dt² – (dx² + dy² + dz²), gdzie x, y, z — współrz. przestrzenne, t — współrz. czasowa, c — prędkość światła w próżni. W geometrii Riemanna rolę prostych odgrywają geodezyjne; wprowadza się również pojęcie krzywizny w różnych punktach przestrzeni Riemanna. Zarówno geometria euklidesowa, jak i geometrie nieeuklidesowe (hiperboliczna, eliptyczna) są szczególnymi przypadkami geometrii Riemanna, np. zarówno w geometrii hiperbolicznej, jak i geometrii eliptycznej (są to geometrie przestrzeni o stałej krzywiźnie κ, geometria), w przypadku trójwymiarowym kwadrat różniczki łuku ds² wyraża się wzorem

,

przy czym κ < 0 dotyczy geometrii hiperbolicznej (geometria Łobaczewskiego), κ > 0 — geometrii eliptycznej (lub geometrii Riemanna w sensie węższym), κ = 0 — geometrii parabolicznej (czyli euklidesowej). Geometria Riemanna znalazła zastosowanie m.in. w ogólnej i szczególnej teorii względności.