trygonometria
 
Encyklopedia PWN
trygonometria
[gr. trígōnon ‘trójkąt’, metréō ‘mierzę’],
mat. pierwotnie — gałąź matematyki poświęcona badaniu związków między bokami i kątami trójkąta (stąd nazwa), później — teoria określonych z tej okazji funkcji (funkcje trygonometryczne), obecnie — dział matematyki szkolnej;
trygonometria dzieli się na płaską i sferyczną; w trygonometrii płaskiej bada się własności trójkątów (wielokątów) położonych na płaszczyźnie, w trygonometrii sferycznej — na powierzchni kuli, przy czym np. w przypadku płaszczyzny można poza geometrią euklidesową rozważać geometrię hiperboliczną (geometria Łobaczewskiego) lub eliptyczną (geometrie Riemanna).
Podstawowe wzory trygonometrii płaskiej (euklidesowej). W przypadku trójkąta o bokach a, b, c, kątach wewnętrznych α, β, γ (α  + β + γ = π), obwodzie a + b + c = 2p i polu S prawdziwe są następujące wzory: wzór sinusów (sinusów twierdzenie, sformułowane przez Nasira ad-Din, XIII w.); wzór cosinusów (cosinusów twierdzenie, w niejawnej postaci występuje już w Elementach Euklidesa), wzór tangensów (tangensów twierdzenie, sformułowane przez Regiomontanusa, XV w.) oraz wzory na pole trójkąta:
wzory wiążące kąty trójkąta z jego bokami:
Podstawowe wzory trygonometrii sferycznej. W przypadku trójkąta sferycznego między jego kątami płaskimi α, β, γ i bokami a, b, c (boki a, b, c mierzy się za pomocą odpowiadających im kątów środkowych; długości tych boków są równe odpowiednio aR, bR, cR, gdzie R — promień sfery) zachodzą następujące wzory:
(Abu al-Wafa, X w.),
cos a = cos b · cos c + sin b · sin c · cos α
(Regiomontanus, XV w.),
cos α = –cos β  · cos γ + sin β · sin γ · cos a
(F. Viète, 2. połowa XVI w.),
sin a · sin β = cos b · sin c – sin b · cos c · cos α,
sin α · cos b = cos β · sin γ + sin β · cos γ · cos a
(L. Euler, XVIII w.).
Za pomocą przestawień cyklicznych αβγα oraz abca można otrzymać dalsze wzory trygonometrii sferycznej; wzory te pozwalają wyznaczyć 3 dowolne elementy trójkąta sferycznego, gdy znane są pozostałe 3 elementy; trygonometria sferyczna znajduje szerokie zastosowanie w astronomii.
Trygonometrię płaską zapoczątkowali Al-Battani (IX–X w.), Abu al-Wafa, A. Bhaskara, Nasir ad-Din; później rozwijali ją M. Kopernik, Tycho Brahe, J. Kepler; współczesną postać nadał jej Euler. Trygonometria sferyczna powstała znacznie wcześniej (Menelaos z Aleksandrii, Klaudiusz Ptolemeusz) niż trygonometria płaska; wszystkie przypadki rozwiązywania dowolnych trójkątów sferycznych zbadał Nasir ad-Din, a pełny zestaw wzorów trygonometrii sferycznej podał Euler.
Ilustracje
Trygonometryczne funkcje wyk. LogoScript/Archiwum Ilustracji WN PWN SA © Wydawnictwo Naukowe PWN
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia