funkcje trygonometryczne,
mat. funkcje kąta φ, oznaczane symbolami: sinφ (sinus), cosφ (cosinus), tgφ (tangens), ctgφ (cotangens), secφ (secans), cosecφ (cosecans), określone za pomocą wzorów: sinφ = y/r, cosφ = x/r, tgφ = y/x = sinφ/cosφ (dla kątów φ ≠ π/2 ± nπ, gdzie n = 0, 1, 2, 3, ...), ctgφ = x/y = cosφ/sinφ (dla φ ≠ ±nπ), secφ = r/x = 1/cosφ (dla φ ≠ π/2 ± nπ), cosecφ = r/y = 1/sinφ (dla φ ≠ ±nπ).
funkcje trygonometryczne
Encyklopedia PWN
Funkcje trygonometryczne są funkcjami okresowymi, mianowicie sin, cos, sec, cosec mają okres 360° (= 2π rad), a tg i ctg — okres 180° (= π rad). W tablicach matematycznych są podane wartości liczbowe funkcji trygonometrycznych dla kątów leżących w pierwszej ćwiartce, tzn. 0 < φ < 90° (niekiedy tylko dla kątów 0 < φ < 45°); w celu znalezienia wartości funkcji trygonometrycznych dla dużych kątów stosuje się tzw. wzory redukcyjne:
sin(φ + kπ) = (–1)k sinφ, cos(φ + kπ) = (–1)k cosφ, tg(φ + kπ) = tgφ, gdzie k — dowolna liczba całkowita, sin(φ + π/2) = cosφ, cos(φ + π/2) = –sinφ, tg(φ + π/2) = –ctgφ.
Funkcje trygonometryczne spełniają wiele tożsamości, z których oprócz podstawowej relacji cos2φ + sin2φ = 1, najważniejsze to:
1) wzory wyrażające funkcję trygonometryczną sumy lub różnicy kątów w zależności od funkcji trygonometrycznych poszczególnych kątów:
sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ,
cos(α ± β) = cosα · cosβ ± sinα · sinβ,
tg(α ± β) = (tgα ± tgβ)/(1 ± tgα · tgβ),
przy czym znaki plus i minus górne (dolne) po lewej stronie odpowiadają znakom górnym (dolnym) po prawej stronie tych wzorów;
2) wzory na sumę lub różnicę funkcji trygonometrycznych (Regiomontanus, XV w.; J. Napier, XVII w.):
sinα ± sinβ = 2sin1/2(α ± β) · cos1/2(α ± β),
tgα ± tgβ = [sin(α ± β)]/(cosα · cosβ),
cosα + cosβ = 2cos1/2(α + β) · cos1/2(α – β),
cosα – cosβ = –2sin1/2(α + β) · sin1/2(α – β);
3) wzory na iloczyny funkcji trygonometrycznych kątów:
sinα · cosβ = 1/2[sin(α + β) + sin(α – β)],
sinα · sinβ = 1/2[cos(α – β) – cos(α + β)],
cosα · cosβ = 1/2[cos(α + β) + cos(α – β)];
4) wzory wyrażające funkcje trygonometryczne przez szeregi potęgowe (I. Newton, 1669), np.:
![](https://mm.pwn.pl/emf/trygonometrycznefunkcje1.gif)
![](https://mm.pwn.pl/emf/trygonometrycznefunkcje2.gif)
zbieżne dla każdej wartości kąta α (wyrażonej w radianach);
5) wzory na pochodne funkcji trygonometrycznych (różniczkowy rachunek) i na całki funkcji trygonometrycznych (całkowy rachunek).
W analizie matematycznej funkcji trygonometrycznych sin i cos definiuje się analitycznie (nie geometrycznie) za pomocą ostatnich dwóch szeregów potęgowych, które służą także jako definicje sinusa i cosinusa dla zespolonych wartości argumentów:
![](https://mm.pwn.pl/emf/trygonometrycznefunkcje3.gif)
![](https://mm.pwn.pl/emf/trygonometrycznefunkcje4.gif)
gdzie z = x + i y (i =
; x, y — liczby rzeczywiste); funkcje trygonometryczne argumentu zespolonego związane są z funkcją wykładniczą ez wzorami Eulera. Funkcje trygonometryczne argumentu zespolonego mogą przybierać wartości rzeczywiste większe niż 1. Funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych nazywają się funkcjami kołowymi lub cyklometrycznymi.
![](https://mm.pwn.pl/emf/trygonometrycznefunkcje5.gif)
Pierwsze pojęcia dotyczące funkcji trygonometrycznych sięgają czasów starożytnej Grecji (Euklides, Archimedes, Apoloniusz z Pergi i in.); pierwszą tablicę sinusów zestawił Klaudiusz Ptolemeusz (II w.); funkcje tg α i ctg α pojawiają się u Al-Battaniego (IX–X w.) i u Abu al-Wafy (X w.); ten ostatni stosował również funkcje trygonometryczne secα i cosecα; Arjabhata znał tożsamość cos2α + sin2α = 1. Współczesna postać funkcji trygonometrycznych jest zasługą L. Eulera (XVIII w.); wprowadził on definicję funkcji trygonometrycznych dla argumentów zespolonych, odkrył związek funkcji trygonometrycznych z funkcją wykładniczą ez, wykazał ortogonalność układu funkcji 1, cosα, sinα, cos2α, sin2α, ... , uzyskał rozwinięcie sinusa i cosinusa w iloczyny nieskończone, jak również rozkład cotangensa i tangensa na ułamki proste. Funkcje trygonometryczne stosuje się szeroko przy badaniu zjawisk okresowych (periodycznych), np. drgań prętów, strun.