Fouriera przekształcenie

Fouriera przekształcenie, transformacja Fouriera,

mat. przyporządkowanie (transformacja), w którym danej funkcji f(x) odpowiada funkcja F(λ) = (1) (czynnik 1/ jest przez niektórych autorów włączany do f(x), i — jednostka urojona);

funkcja F(λ) nazywa się transformatą Fouriera (także gęstością widmową, widmem fourierowskim) funkcji f(x). Wzór (1) można odwrócić uzyskując odwrotne przekształcenie Fouriera:

(2)

W zapisie operatorowym wzory (1) i (2) podaje się następująco: F(λ) = F[f(x)] oraz f(x) = F^–1[F(λ)], gdzie F oznacza przekształcenie Fouriera, a F^–1 — odwrotne przekształcenie Fouriera. Całki we wzorach (1) i (2) istnieją np. przy założeniu, że:

lub .

Funkcję F(λ) we wzorze (1) można uważać za rozwiązanie równania całkowego (2), w którym dana jest funkcja f(x), a poszukiwana — funkcja F(λ). Operacjom na funkcjach wyjściowych f(x) odpowiadają określone operacje na ich transformatach F(λ); np. różniczkowaniu funkcji f(x) odpowiada mnożenie jej transformaty F(λ) przez czynnik –iλ, mianowicie F [f′] = –i λF [f], a całkowaniu — dzielenie przez czynnik –iλ. Myśl sprowadzenia złożonych operacji analizy matematycznej do prostych działań algebraicznych na transformatach (przy czym później powraca się do funkcji wyjściowych za pomocą odwrotnego przekształcenia Fouriera) jest podstawą rachunku operatorowego, bardzo ważnego w zastosowaniach, np. w elektrotechnice teoretycznej, teorii sterowania, teorii transmisji. Przekształcenie Fouriera jest podstawowym narzędziem teorii równań różniczkowych cząstkowych.