widmo sygnału

widmo sygnału, widmo przebiegu wielkości,

rozkład wartości określonej wielkości fizycznej charakteryzującej sygnał w zależności od jego częstotliwości;

powstaje w wyniku operacji matematycznej polegającej na rozłożeniu sygnału na składowe przebiegi harmoniczne o różnych częstotliwościach. Widmo stanowi więc reprezentację częstotliwościową sygnału, a jego przebieg — reprezentację czasową.

Z teorii przekształcenia Fouriera wynika, że jeżeli sygnał jest okresową funkcją czasu o okresie T₀: x(t) = x(t + kT₀), gdzie k jest liczbą całkowitą, to można go rozwinąć w szereg Fouriera

,

gdzie f₀ = 1/T₀ — częstotliwość podstawowa. Sygnał można więc przedstawić jako sumę składowej stałej (przebiegu niezależnego od czasu) o amplitudzie C₀ i przebiegów sinusoidalnych (drgań harmonicznych) o amplitudach C_n, częstotliwościach f₀n i fazach początkowych φ_n; sygnałowi okresowemu odpowiada zatem widmo prążkowe (dyskretne), mogące zawierać tylko składniki C_n (prążki) o dyskretnych wartościach częstotliwości, równych całkowitej wielokrotności częstotliwości podstawowej f₀ = 1/T₀.

Wartości współczynników C₀, C_n i φ_n można wyznaczyć z następujących zależności:

, ,

φ_n = arc tg(B_n/A_n), gdzie , .

Na rysunku zestawiono przebiegi czasowe i widma amplitudy sygnałów impulsowych o różnym współczynniku wypełnienia k = τ/T (τ — czas trwania pojedynczego impulsu). Wraz ze zmniejszaniem się k, tj. zwiększaniem T przy stałym τ, składowe harmoniczne (prążki) w widmie leżą coraz bliżej siebie, a ich amplitudy (wysokości prążków) stopniowo maleją. W granicznym przypadku, gdy k maleje do zera (T rośnie do nieskończoności), amplitudy prążków i odległości między prążkami stają się nieskończenie małe, a widmo z prążkowego przechodzi w ciągłe. Odpowiada to pojedynczemu impulsowi (sygnałowi nieokresowemu). Wprowadza się wówczas pojęcie widma gęstości amplitudy, które jest określone funkcją , a zamiast szeregu Fouriera stosuje się całkę Fouriera:

, w której funkcja stanowi transformatę Fouriera i przedstawia właśnie widmo gęstości amplitudy nieokresowego przebiegu czasowego x(t).

Istotne znaczenie w teorii sygnałów ma również widmo gęstości energii oraz widmo gęstości mocy, opisujące rozkład odpowiednio energii i mocy średniej sygnału w zależności od częstotliwości. W praktyce występuje niekiedy widmo mieszane, tj. połączenie widma dyskretnego i ciągłego, co odpowiada w dziedzinie czasu mieszaninie sygnału okresowego i nieokresowego (zdeterminowanego lub losowego).

Zarówno w zagadnieniach teoretycznych, jak i w praktyce, każdy sygnał, reprezentujący przebieg pewnej wielkości fizycznej, może więc być analizowany albo w dziedzinie czasu — badanie przebiegu funkcji x(t), albo w dziedzinie częstotliwości — badanie przebiegu funkcji X(f). Typowym przyrządem wyznaczającym przebieg funkcji x(t) jest oscyloskop, zaś funkcji X(f) — spektrometr. Obie metody analizy sygnałów są stosowane prawie we wszystkich dziedzinach nauki i techniki, m.in. w biologii, medycynie, astronomii.

Widmo sygnału okresowego (piłozębnego): a) przebieg sygnału; b) widmo amplitudy

Widmo sygnału impulsowego: a), c), e) przebieg sygnału; b), d) widmo amplitudy; f) widmo gęstości amplitudy