logarytm
 
Encyklopedia PWN
logarytm
[gr. lógos ‘słowo’, arithmós ‘liczba’],
mat. logarytm liczby b przy podstawie a, oznaczany logab, to liczba, do której należy podnieść liczbę a, by uzyskać liczbę b;
inaczej — jest to rozwiązanie równania ax = b, gdzie a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi i a ≠ 1, np. log28 = 3, gdyż 23 = 8, log100,01 = −2, gdyż 10–2 = 0,01; liczba a nazywa się podstawą logarytmu, a liczba b nazywa się liczbą logarytmowaną (łac. numerus logarithmi). Logarytmy przy podstawie a = 10 nazywają się logarytmami dziesiętnymi, oznaczanymi log lub lg; logarytmy przy podstawie e (e) — logarytmami naturalnymi, oznaczanymi ln; logarytmy dziesiętne przedstawia się często w postaci sumy pewnej liczby całkowitej, zwanej cechą logarytmu, oraz pewnego nieujemnego właściwego ułamka dziesiętnego, zwanego mantysą logarytmu (każdą liczbę rzeczywistą dodatnią x można przedstawić w postaci x = 10m · a, gdzie 1 ≤ a < 10 i m jest liczbą całkowitą; stąd log x = m + log a); cecha logarytmu liczby większej od jedności zawiera tyle dodatnich jedności, ile cyfr minus jeden zawiera całkowity składnik danej liczby, a cecha logarytmu dodatniego ułamka dziesiętnego mniejszego od jedności zawiera tyle ujemnych jedności, ile — wraz z zerem — całości znajduje się przed pierwszą znaczącą cyfrą danego ułamka, np. log 20 = 1 + 0,3010... (cechą jest 1, mantysą 0,3010...), log 0,002 = −3 + 0,3010... , przy czym znak „−” pisze się nad liczbą, a więc log 0,002 = ,3010... , log 0,0503 = 2,&siedemmacr.x;016... itp.; przybliżone wartości mantys logarytmów liczb są zapisane w tablicach logarytmicznych.
Własności logarytmów: loga(x · y) = logax + logay, loga(x/y) = logax − logay, logaxb = b · logax (b — dowolna liczba rzeczywista), logab = logcb/logca (wzór na przejście od logarytmu przy podstawie a do logarytmu przy podstawie c); przy obliczeniach stosuje się czasem cologarytmy, oznaczane clgab, i równe loga(1/b) = −logab, np. clg 20 = −log 20 = −1,3010 =  + 0,6990.
Odkrycia logarytmów dokonano w XVI w. (J. Bürgi, J. Neper, H. Briggs), kiedy to — w związku z rozwojem astronomii, nawigacji i handlu — wzrosła potrzeba wykonywania działań na liczbach wielocyfrowych. Obliczenia za pomocą logarytmów przez wiele lat ułatwiały żmudne rachunki, pozwalając — dzięki własności loga(x · y) = logax + logay — na zastępowanie mnożenia znacznie prostszym dodawaniem. Znaczenie logarytmów pomniejszył dopiero rozwój elektronicznej techniki obliczeniowej w 2. połowie XX w.
W zakresie liczb zespolonych logarytm definiuje się następująco: logarytmem liczby zespolonej z = x + &imath.x;y (różnej od zera) nazywa się każdą liczbę zespoloną w = u + &imath.x;v (x, y, u, v — liczby rzeczywiste) spełniającą równanie ew = z(eu + &imath.x;v = x + &imath.x;y); z tej definicji wynika wzór: loge(x + &imath.x;y) = + i(φ + 2kπ), gdzie φ = arctg(y/x) oznacza argument główny logarytmowanej liczby zespolonej (−π < φ < +π), a liczba k = 0, ±1, ±2, ...; dla k = 0 otrzymuje się liczbę zwaną wartością główną logarytmu liczby zespolonej z.
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia