forma kwadratowa

forma kwadratowa,

mat. wielomian jednorodny stopnia drugiego, czyli wielomian postaci: ;

liczby a_ij (i, j = 1, 2, ... , n) nazywają się współczynnikami f.k.; np. 2x₁x₂ + 3x₂x₃ + x₃² jest f.k. 3 zmiennych x₁, x₂, x₃, współczynniki: a₁₂ = 2, a₂₃ = 3, a₃₃ = 1, pozostałe są równe 0. Macierz A = [a_ij], zbud. ze współczynników a_ij, nazywa się macierzą formy kwadratowej; za pomocą odpowiednio dobranego przekształcenia liniowego można f.k. doprowadzić do postaci kanonicznej e₁y₁² + e₂y₂² + ... + e_ny_n², gdzie współczynniki e₁, ... , e_n są równe ±1 lub 0; liczba współczynników różnych od zera nazywa się rzędem formy kwadratowej, a ich suma — jej sygnaturą. F.k. W nazywa się dodatnią lub określoną dodatnio (odpowiednio: ujemną lub określoną ujemnie), jeżeli przybiera wartości dodatnie (ujemne) dla dowolnych (x₁, x₂, ... , x_n) ≠ (0, 0, ... , 0); np. f.k. 4x₁² − 12x₁x₂ + 9x₂² jest określona dodatnio. F.k. mają wiele zastosowań w matematyce, np. w badaniu krzywych i powierzchni stopnia drugiego, w teorii liczb, a także w fizyce, np. za pomocą f.k. wyraża się energię kinet. i energię potencjalną — w przypadku tzw. małych drgań układów fiz. wokół ich położeń równowagi trwałej.