niezmienników teoria,
mat. teoria poświęcona badaniu niezmienników form (i układów form) poddanych działaniu pewnej grupy G przekształceń liniowych.
niezmienników teoria
Encyklopedia PWN
Klasyczny problem tej teorii polega na opisaniu wszystkich niezmienników i wskazaniu algorytmów ich wyznaczania. Problematyka ta rozwijała się intensywnie w XIX w. (klasyczna t.n.). Na przykład, dla formy kwadratowej F(X, Y) = AX2 + BXY + CY2 o współczynnikach z ℝ, jej niezmiennikiem względem grupy liniowej SL2(ℝ), złożonej ze wszystkich podstawień X = ax + by, Y = cx + dy (a, b, c, d ∈ ℝ, ad − bc = ±1), jest wyróżnik Δ(F) = B2 − 4AC. Jeśli g = (aij) jest elementem grupy SLn(
) zespolonych macierzy kwadratowych stopnia n o wyznaczniku detg = ±1, a F(x1, ... , xn) — formą stopnia k o współczynnikach zespolonych i określi się g(xi) = a1i x1 + a2i x2 + ... + ani xn (i = 1, 2, ... , n), to nową formę g(F) definiuje się wzorem: g(F)(x1, ... , xn) = F(g(x1), ... , g(xn)). W ten sposób element g grupy SLn() przeprowadza zbiór E = E(n, k, ) zespolonych form n zmiennych stopnia k w siebie. Niezmiennikiem nazywa się funkcję f określoną na E, która jest wielomianem względem współczynników form F ∈ E, niezmienniczą względem grupy SLn(), tzn. f(g(F)) = f(F) dla dowolnych F ∈ E i g ∈ SLn(). Zamiast grupy SLn() można brać inne podgrupy grupy liniowej GLn(), złożonej z macierzy g o wyznaczniku różnym od zera, a jedną formę można zastąpić kilkoma. W 1890 D. Hilbert udowodnił, że wszystkie niezmienniki form E(n, k, ) względem grupy SLn() można wyrazić przez pewien skończony zbiór niezmienników. W XX w. t.n. została w sposób istotny uogólniona i rozszerzona; jest ważnym działem współcz. geometrii algebraicznej.
) zespolonych macierzy kwadratowych stopnia n o wyznaczniku detg = ±1, a F(x1, ... , xn) — formą stopnia k o współczynnikach zespolonych i określi się g(xi) = a1i x1 + a2i x2 + ... + ani xn (i = 1, 2, ... , n), to nową formę g(F) definiuje się wzorem: g(F)(x1, ... , xn) = F(g(x1), ... , g(xn)). W ten sposób element g grupy SLn() przeprowadza zbiór E = E(n, k, ) zespolonych form n zmiennych stopnia k w siebie. Niezmiennikiem nazywa się funkcję f określoną na E, która jest wielomianem względem współczynników form F ∈ E, niezmienniczą względem grupy SLn(), tzn. f(g(F)) = f(F) dla dowolnych F ∈ E i g ∈ SLn(). Zamiast grupy SLn() można brać inne podgrupy grupy liniowej GLn(), złożonej z macierzy g o wyznaczniku różnym od zera, a jedną formę można zastąpić kilkoma. W 1890 D. Hilbert udowodnił, że wszystkie niezmienniki form E(n, k, ) względem grupy SLn() można wyrazić przez pewien skończony zbiór niezmienników. W XX w. t.n. została w sposób istotny uogólniona i rozszerzona; jest ważnym działem współcz. geometrii algebraicznej. Witold Więsław
