najgęstszych ułożeń jednakowych kul teoria,
krystal. teoria opisująca różne możliwe ułożenia (upakowania) jednakowych kul w przestrzeni trójwymiarowej, w których każda kula zawsze styka się z 12 kulami.
najgęstszych ułożeń jednakowych kul teoria
Encyklopedia PWN
Wszystkie, a jest ich nieskończenie wiele, najgęstsze ułożenia jednakowych kul powstają przez nakładanie się na siebie w różny sposób tzw. najgęściej ułożonych warstw heksagonalnych (rys. 1). Najgęstsze ułożenie kul w 2 warstwach powstaje wtedy (rys. 2), gdy wszystkie kule drugiej warstwy znajdą się w zagłębieniach między kulami warstwy pierwszej (znajdującymi się w położeniach A) i zajmą w niej np. wszystkie zagłębienia b (znajdą się w położeniach B). Jeżeli na te 2 warstwy zostanie nałożona taka sama warstwa trzecia, to jej kule, wchodząc w zagłębienia warstwy drugiej, mogą zająć tylko położenia nad kulami A albo nad zagłębieniami c warstwy pierwszej (położenia A lub C). W pierwszym przypadku powstaje ułożenie ABA (rys. 3), a dalsze warstwy można nakładać w tym samym porządku, otrzymując nieskończone ułożenie ABABAB... Powtarzająca się w nim sekwencja warstw składa się z 2 warstw |AB|, a takie trójwymiarowe najgęstsze ułożenie nazywa się najgęstszym ułożeniem dwuwarstwowym; ze względu na symetrię makroskopową ułożenie |AB| jest najgęstszym ułożeniem heksagonalnym (krystalograficzne układy). W drugim przypadku powstaje ułożenie warstw ABC (rys. 4), a dalsze nakładanie warstw w przyjętej kolejności doprowadza do powstania ułożenia ABCABCABC... Powtarzająca się w nim sekwencja składa się z 3 warstw |ABC|, ułożenie to jest najgęstszym ułożeniem trójwarstwowym, a ze względu na symetrię jest to najgęstsze ułożenie regularne.
W obu najgęstszych ułożeniach środki kul układają się w sieci przestrzenne, można więc z nich wybrać komórki elementarne. Komórka elementarna najgęstszego ułożenia heksagonalnego jest brawesowską komórką typu P i zawiera 2 kule w położeniach 000 i 2/3 1/3 1/2. Komórka elementarna najgęstszego ułożenia regularnego jest brawesowską komórką typu F i zawiera 4 kule w położeniach 000, 1/201/2, 1/21/2 0, 01/2 1/2. Dla wszystkich rodzajów trójwymiarowego najgęstszego ułożenia jednakowych kul współczynnik wypełnienia przestrzeni (tj. stosunek objętości kul zawartych w komórce elementarnej do objętości komórki) jest taki sam i równa się 74,05%.
Operując tylko symbolami: A, B, C, można przedstawić dowolne najgęstsze upakowanie, którego powtarzająca się sekwencja składa się z dowolnej liczby warstw; np. można utworzyć ułożenie czterowarstwowe |ABAC|, sześciowarstwowe: |ACBABC| lub |ABCBAC|, dziewięciowarstwowe |ABACACBCB| itd. (rys. 5).
W każdym najgęstszym ułożeniu istnieją między kulami puste miejsca, tzw. luki. Rozróżnia się luki: tetraedryczne, mniejsze, otoczone przez 4 kule, których środki są rozmieszczone w narożach regularnego czworościanu (krystalograficzne postacie), oraz oktaedryczne, większe, otoczone przez 6 kul, o środkach rozmieszczonych w narożach regularnego ośmiościanu (rys. 6). W najgęstszym ułożeniu składającym się z n kul o promieniu r znajduje się n luk oktaedrycznych i 2n luk tetraedrycznych. W luce oktaedrycznej można zmieścić kulę o promieniu 0,414 r, a w luce tetraedrycznej — kulę o promieniu 0,225 r.
Wiele kryształów ma wewn. budowę (strukturę) dającą się opisać za pomocą t.n.u.j.k. Taką strukturę najgęstszego ułożenia (strukturę najgęstszego upakowania) mają kryształy wielu pierwiastków chem., stopów metali, nieorg. związków chemicznych o wiązaniu jonowym i kryształy niektórych związków organicznych. W kryształach najczęściej spotykane są 2 rodzaje najgęstszego ułożenia: 2-warstwowe i 3-warstwowe. Strukturę najgęstszego ułożenia regularnego mają m.in. kryształy glinu, miedzi, srebra, złota, palladu, platyny, a najgęstszego ułożenia heksagonalnego — kryształy berylu, magnezu, cynku, wodoru H2 (w temp. 4 K). Krystalizację związków chemicznych w strukturach najgęstszego ułożenia umożliwia istnienie luk — w tych przypadkach jeden rodzaj atomów (większych) tworzy strukturę najgęstszego ułożenia, a pozostałe (mniejsze) rozmieszczają się w lukach. W krysztale chlorku sodu NaCl aniony chlorkowe tworzą strukturę najgęstszego ułożenia, w której kationy zajmują wszystkie luki oktaedryczne. W heksagonalnym krysztale wurcytu ZnS strukturę najgęstszego ułożenia tworzą atomy siarki, a atomy cynku zajmują połowę luk tetraedrycznych. W regularnym krysztale magnetytu Fe3O4 strukturę najgęstszego ułożenia tworzą atomy tlenu, dwuwartościowe atomy żelaza zajmują w niej 1/8 luk tetraedrycznych, a trójwartościowe atomy żelaza — połowę luk oktaedrycznych. Struktury najgęstszego ułożenia cztero- i więcej warstwowe występują w tzw. politypowych odmianach heksagonalnych kryształów siarczku cynku ZnS, węglika krzemu SiC, siarczku molibdenu MoS2 i in. (politypia).
Zygmunt Trzaska Durski
