filtracja

filtracja

[łac.],

elektr. proces przetwarzania sygnałów mający na celu wydzielenie z mieszaniny sygnałów tylko sygnałów o pożądanych właściwościach;

jest przeprowadzana w filtrze elektrycznym. Filtracja może dotyczyć sygnałów ciągłych bądź dyskretnych i przebiegać w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Przykładem filtracji jest oddzielanie sygnału użytecznego od szumu czy wygładzanie przebiegów elektrycznych. Mechanizmami filtracji zajmuje się teoria filtracji; umożliwia ona obliczanie parametrów i konstruowanie filtrów elektr. przeznaczonych do konkretnego zastosowania. Najbardziej rozwinięta jest teoria filtracji liniowej.

Przebieg filtracji zależy od charakterystyki filtru. Właściwości filtru liniowego w dziedzinie czasu najczęściej określa tzw. odpowiedź impulsowa h(t) (dla procesu ciągłego) lub h(n) (dla procesu dyskretnego), opisująca postać sygnału na wyjściu filtru, na którego wejście podano impuls Diraca (pojedynczy impuls o nieskończonej amplitudzie i czasie trwania równym 0). Filtracja sygnału w dziedzinie czasu, tj. zależność między sygnałem wejściowym x(t) a sygnałem wyjściowym y(t) filtru jest opisana dla procesu ciągłego iloczynem splotowym (splot funkcji): y(t) = x(t)*h(t), przedstawianym w postaci całki:

;

dla procesu dyskretnego iloczyn splotowy ma postać sumy:

.

Przebieg filtracji sygnału w dziedzinie częst. określa się za pomocą charakterystyki częstotliwościowej filtru, zw. również charakterystyką widmową; dostarcza ona informacji, jak są przenoszone przez filtr sygnały o określonych częstotliwościach. Charakterystykę tę można otrzymać wyznaczając transmitancję operatorową filtru H(s) (dla procesu ciągłego) lub H(z) (dla procesu dyskretnego); ma ona postać przekształcenia całkowego Laplace’a (transformata) odpowiedzi impulsowej h(t). Proces filtracji w dziedzinie częst. jest opisany zwykłym iloczynem transformaty sygnału wejściowego oraz transmitancji operatorowej układu filtrującego, np. dla sygnałów ciągłych iloczynem: Y(s) = H(s)X(s), gdzie Y(s) i X(s) są transformatami Laplace’a odpowiednio sygnału wyjściowego i wejściowego filtru. W wypadku sygnałów dyskretnych obowiązuje podobny wzór: Y(z) =  H(z)X(z), w którym z jest częst. zespoloną w transformacji Laurenta. W wypadku filtrów zbudowanych z rezystorów, cewek, kondensatorów i źródeł sterowanych transmitancja ma postać funkcji (wymiernej) zmiennej zespolonej s, tj. H(s) = L(s)/M(s), gdzie L(s) i M(s) są wielomianami o stałych współczynnikach, przy czym przyjmuje się s = jω (ω = 2πf jest pulsacją, f — częst., a j =  — jednostką urojoną); w postaci wykładniczej H(s) = H(jω) = |H(jω)|e^jφ (ω). Wielkość |H(jω)| jest modułem transmitancji i jej przebieg w zależności od pulsacji (częst.) nosi nazwę charakterystyki amplitudowej, natomiast przebieg φ(ω) (φ — faza sygnału) — charakterystyki fazowej. Przy dużych zmianach wartości modułu wygodnie jest wprowadzić charakterystyki logarytmiczne; zmiany przedstawia się wówczas najczęściej w postaci: 20 log₁₀|H(jω)| i wyraża w decybelach (dB).

W większości zastosowań wystarcza rozważenie procesu filtracji w dziedzinie częst., co znacznie upraszcza wszystkie operacje matematyczne. Filtracja sygnałów w dziedzinie czasu jest zagadnieniem bardziej złożonym teoretycznie i stosuje się ją gł. w wypadku przetwarzania sygnałów stochastycznych (będących losowymi funkcjami czasu). W większości przypadków nie istnieje wówczas analityczne rozwiązanie problemu. Podstawą teorii filtracji w dziedzinie czasu, rozwiniętej przez N. Wienera, A. Kołmogorowa i R. Kalmana, jest założenie, że przetwarzane sygnały stanowią pewne procesy stochastyczne, w których opisie wykorzystuje się narzędzia statystyki, nie zaś charakterystyki częstotliwościowe. To podejście wiąże się z teorią estymacji.

Filtracja jest istotną operacją przetwarzania sygnałów. Jest stosowana powszechnie w odbiornikach radiowych i telewizyjnych, w systemach regulacji automatycznej, w modelowaniu obiektów dynamicznych, a także w metodach prognozowania i estymacji procesów. Filtracja w dziedzinie czasu jest stosowana m.in. przy określaniu orbit sztucznych satelitów Ziemi, śledzeniu ruchu samolotów lub sterowaniu torem pocisków.

Pionierami teorii filtracji byli matematycy A.M. Legendre i C.F. Gauss, a jej wielkimi współcz. twórcami — Wiener, G. Campbell, Kalman i Kołmogorow.

Stanisław Osowski

Bibliografia

J. Szabatin Podstawy teorii sygnałów, Warszawa 1982.