wielomiany Czebyszewa
 
Encyklopedia PWN
wielomiany Czebyszewa,
mat. wielomiany postaci Tn(x) = cos(n arc cos x), gdzie n = 0, 1, 2, ... (n-ty w.Cz. pierwszego rodzaju) i Un(x) = (n-ty w.Cz. drugiego rodzaju).
Kilka początkowych w.Cz.: T0(x) = 1, T1(x) = x, T2(x) = 2x2 − 1, T3(x) = 4x3 − 3x; U0(x) = 1, U1(x) = 2x, U2(x) = 4x2 − 1, U3(x) = 8x3 − 4x. Między w.Cz. pierwszego i drugiego rodzaju zachodzi związek Un(x) = .
Wielomiany Tn tworzą w przedziale [–1, 1] układ ortogonalny z wagą , tzn. zachodzą następujące związki . Spełniają równość rekurencyjną Tn + 1(x) = 2xTn(x) − Tn −1(x) oraz następujące równanie różniczkowe zwyczajne: (1 − x2)Tn″(x) − xTn′(x) + n2T(x) = 0.
W.Cz. można również definiować jako współczynniki rozwinięcia w szereg Taylora odpowiednich funkcji względem parametru t, np.:
Badał je 1748 L. Euler w związku z rozkładem funkcji cosnx wg potęg cosx, a następnie 1854 P. Czebyszew w związku z zagadnieniami teorii aproksymacji. W.Cz. — jako aproksymacje funkcji ciągłych — znajdują zastosowanie w wielu gałęziach matematyki i techniki.
zgłoś uwagę

Znaleziono w książkach Grupy PWN

Trwa wyszukiwanie...  
Przeglądaj encyklopedię
Przeglądaj tabele i zestawienia
Przeglądaj ilustracje i multimedia