powierzchnia

powierzchnia,

mat. jedno z podstawowych pojęć geometrii.

W geometrii elementarnej powierzchnię opisuje się jako pewne zbiory punktów lub prostych o określonych własnościach, np. powierzchnię kuli (czyli sferę) opisuje się jako zbiór punktów przestrzeni równoodległych od danego punktu (środka sfery), powierzchnię stożkową — jako zbiór prostych przechodzących przez dany punkt A (wierzchołek) i daną krzywą zamkniętą k położoną na sferze S o promieniu r > 0 i środku w punkcie A; często, zwłaszcza w mechanice i fizyce, mówi się, że powierzchnie powstają przez ruch linii (prostych lub krzywych) lub że stanowią brzegi (ograniczenia) ciał materialnych (brył); w geometrii wyższej (analitycznej, algebraicznej, różniczkowej), powierzchnię określa się jako zbiór punktów P(x, y, z), których współrzędne x, y, z są funkcjami (ciągłymi, różniczkowalnymi, analitycznymi) 2 zmiennych u, v, a więc x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), gdzie zmienne u, v przebiegają pewien obszar płaski Ω (np. kwadrat 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1), przy czym żąda się dodatkowo, by każdym 2 różnym punktom (u₁, v₁) i (u₂, v₂) obszaru odpowiadały różne punkty powierzchni P₁(x₁, y₁, z₁) i P₂(x₂, y₂, z₂); np. powierzchnię kuli (sferę) o promieniu r można opisać równaniami: x = rcosφ sinψ, y = rsinφ sinψ, z = rcosψ, gdzie r = const, 0 ≤ φ < 2π, 0 ≤ ψ ≤ π (φ i ψ — tzw. zmienne sferyczne); niekiedy powierzchnię określa się za pomocą jednego równania Φ(x, y, z) = 0 jako (niepusty) zbiór punktów P (x, y, z), których współrzędne x, y, z spełniają to równanie; np. sferę o promieniu r i środku S(a, b, c) można określić równaniem (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = r²; jeśli Φ jest funkcją algebraiczną, to odpowiednia powierzchnia nazywa się algebraiczną; w przypadku przeciwnym — przestępną.