Poincarégo hipoteza

Poincarégo hipoteza,

mat. przypuszczenie sformułowane 1904 przez H. Poincarégo, że jedyną zamkniętą i jednospójną rozmaitością 3-wymiarową jest sfera;

hipoteza Poincarégo stanowi jeden z podstawowych problemów topologii geometrycznej. Istnieje uogólnienie tego problemu dla rozmaitości dowolnego wymiaru n ≥ 2, zw. uogólnioną hipotezą Poincarégo; dla n = 2 jej prawdziwość wynika z klasyfikacji powierzchni; w latach 60. XX w. S. Smale wykazał prawdziwość hipotezy dla n ≥ 5 (Medal Fieldsa 1966); dla n = 4 dowód podał 1982 M.H. Freedman (Medal Fieldsa 1986). W 2002–03 G.J. Perelman udostępnił w Internecie serię 3 preprintów, zawierających skrótowo zapisany dowód tzw. hipotezy geometryzacyjnej W. Thurstona, znacznie ogólniejszej od hipotezy Poincarégo w wymiarze n = 3 (hipoteza Thurstona podaje w istocie pełną klasyfikację rozmaitości 3-wymiarowych). Dowód Perelmana, wykorzystujący różne działy matematyki, w tym równania różniczkowe cząstkowe (deformacje metryki na rozmiatości z prędkością proporcjonalną do krzywizny Ricciego), jest obecnie intensywnie sprawdzany przez grupy ekspertów w różnych miejscach świata. Dotychczas (VII 2010) nie znaleziono w nim błędu; mimo to, formalnie, do czasu opublikowania prac Perelmana drukiem, hipotezę Poincarégo dla n = 3 uznaje się za problem nierozstrzygnięty.