Morse’a teoria

Morse’a teoria,

mat. teoria opisująca rozkłady rozmaitości różniczkowych na prostsze fragmenty.

Dla danej rozmaitości n-wymiarowej M istnieje funkcja Morse’a f: M → [0, 1] z punktami kryt. p₁, ... , p_k, przy czym f(p₁) < f(p₂) < ... < f(p_k). Jeśli liczba a nie jest żadną z wartości kryt. f(p_i), to podzbiór M_a = f^–1(a) jest podrozmaitością M wymiaru n − 1. Jeśli b > a jest inną liczbą o tej własności, to podzbiór M_{a, b} = f^–1[a, b] ⊂ M jest podrozmaitością z brzegiem M_a  M_b. Jeśli przedział [a, b] nie zawiera żadnej wartości kryt., to M_a, b jest po prostu walcem nad M_a = f^–1(a), tj. zachodzi M_a, b ≈ M_a × [a, b]. Wybranie liczb a_i, po jednej między każdą parą sąsiednich wartości kryt., powoduje, że podrozmaitości rozcinają M na podzbiory zawierające dokładnie po jednym punkcie kryt. p_i. Takie podzbiory, zw. elementarnymi kobordyzmami, mają stosunkowo prostą budowę topologiczną i można je sklasyfikować. Każda rozmaitość zamknięta „jest poskładana” z pewnej liczby elementarnych kobordyzmów. Czasami prowadzi to do opisu całej rozmaitości. Na przykład, jeśli zamknięta rozmaitość M ma funkcję Morse’a z dokładnie 2 punktami kryt., to jest homeomorficzna (homeomorfizm) ze sferą (twierdzenie Reeba). Każda funkcja Morse’a prowadzi do rozkładu rozmaitości M i dlatego M ma takich rozkładów bardzo wiele. Trudność polega na rozpoznawaniu, kiedy 2 układy elementarnych kobordyzmów składają się na tę samą rozmaitość. Przy pewnych dodatkowych założeniach udaje się tę trudność pokonać. Najbardziej spektakularnym przykładem zastosowania t.M. był dowód Smale’a hipotezy Poincarégo w wymiarach n ≥ 5: każda rozmaitość zamknięta, posiadająca typ homotopii sfery Sⁿ jest z tą sferą homeomorficzna.

Zbigniew Marciniak